П.3.Простейшая модификация метода Эйлера – метод Рунге-Кутта 2-го порядка

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Заменим приращение функции на первом шаге не на , как делали в методе Эйлера, а на более точное значение - на значение производной в середине интервала . А для того, чтобы найти .

Заменим

Окончательно получаем следующую формулу:

(6.3) Формула Рунге-Кутта 2го порядка с усреднением по

времени.

Метод Рунге-Кутта 2го порядка с усреднением по производной.

Заменим приращение:

Окончательно получим следующую формулу:

(6.4) Метод Рунге-Кутта 2го порядка с

усреднением по производной.

Локальная погрешность методов (6.3) и (6.4)

П.4. Сведение дифференциальных уравнений высших порядков к системе дифференциальных уравнений и её решение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение n^ого порядка, разрешенное относительно старшей производной и Задачу Коши для данного уравнения:

- ДУ

Задача

Коши

(6.5) - начальные условия.

Чтобы свести З.К.(6.5) для ДУ n^ого порядка к СДУ 1^ого порядка, поступаем следующим образом:

введём вектор-функцию , тогда З.К, (6.5)для ДУ n^ого порядка сводится к СДУ 1^ого порядка:

(6.6)

где ;

Итак, вместо З.К. (6.5) для ДУ n^ого порядка мы получили З.К. (6.6) для СДУ 1^ого порядка, а её мы можем решить любым известным нам методом (Эйлера, Рунге-Кутта,…) с заменой в этих формулах скалярных величин y,f на векторные Y,F.

Пример сведения ДУ n^ого порядка к СДУ 1^ого порядка и нахождение решения по методу Эйлера:

Имеем ДУ 2го порядка, сводим к СДУ 1го порядка для 2х уравнений:

Вводим

фиксируем шаг: h=0,1

Аналогичным образом находим

Метод Рунге-Кутта 4го порядка.

Наиболее применяемым методом решения ДУ и СДУ является метод Рунге-Кутта 4го порядка.

Формулы метода Рунге-Кутта 4го порядка:

(6.7)

в векторной форме данной формулы, величины y, f, k заменяют на Y, F, K.

П.5. Локальные и глобальные погрешности одношаговых методов решения ДУ

(метода Эйлера и методов Рунге-Кутта 2го, 4го порядка).

Теорема 6.1:

Если локальная погрешность метода , то глобальная .

Комментарии:

как и при численном интегрировании, при переходе от локальной погрешности к глобальной, точность метода уменьшается на порядок. (6.8):

Методы	Локальная	Глобальная
Эйлер	const*h²	const*h
Р.–К. 2го порядка по времени	const*h³	const*h²
Р.–К. 2го порядка по производной	const*h³	const*h²
Р.–К. 4го порядка	const*h⁵	const*h⁴

Как и при численном интегрировании, порядок метода – степень h в глобальной погрешности.

П.6. Многошаговые методы решения ДУ и СДУ.

Все рассмотренные ранее методы – одношаговые, т.к. для нахождения мы использовали только лишь значения с предыдущего шага. В многошаговых методах для нахождения используется не только лишь одно , но и предыдущие значения.

В k-шаговом методе используются значения с k предыдущих шагов.

Многошаговые методы, как правило, дают лучший результат, чем одношаговые, в силу того, что более устойчивы к вычислительным погрешностям. Многошаговых методов много, самый распространенный среди них – метод Милна.

Формулы метода Милна:

(6.9)

Метод Милна – 4х шаговый (т.к. использует 4 предыдущих значения) и имеет 4-ый порядок точности. Перед применением метода Милна нам надо знать 4y, следовательно, необходимо сделать хотя бы 3 шага каким-нибудь одношаговым методом.

П.7. Оценка погрешности решения ДУ и СДУ методом двойного пересчета. Коррекция решения.

Используя такую же идею, как и в численном интегрировании, находим решение ДУ на [a,b] дважды с шагом h и с шагом h/2. Получим следующую картину:

Сравниваем попарно, если расхождение между для метода 2го порядка, для метода 4го порядка, то в качестве точного решения берём . Если же точность не достигнута, то шаг h уменьшаем вдвое и т.д., пока она не будет достигнута.

Метод двойного пересчёта при решении ДУ и СДУ практически единственный имеет возможность для оценки погрешностей, так как иные формулы очень сложны и требуют оценок различных производных.

Как и при ЧИ, при решении ДУ и СДУ после 2го пересчёта в качестве точного решения выгодно брать не , а .

- для второго порядка

Метод двойного пересчёта применим не только лишь при ЧИ, при решении ДУ и СДУ, но и при решении других численных методов.

П.7. Краевые задачи для дифференциальных уравнений.

Выше рассматривалось решение ДУ и СДУ с начальными условиями, заданными в одной точке, так называемую задачу Коши, но для ДУ высших порядков часто бывает необходимо решить не з. Коши, а так называемую краевую задачу, т.е. начальные условия, которые заданы в разных точках.