Погрешность округления общей формулы трапеции и общей формулы Симпсона:

Для формулы трапеции:

Аналогично для формулы Симпсона:

Метод двойного пересчёта для оценки погрешности численного интегрирования.

При практических вычислениях часто бывает затруднительно оценить погрешность усечения формулы трапеции или формулы Симпсона из-за того, что надо находить max или . В этом случае используется метод двойного пересчета.

Заметим, что при уменьшении шага в 2 раза, в формуле трапеций уменьшается в 4 раза, а в формуле Симпсона в 16 раз.

Поэтому поступим следующим образом: вычислим интеграл на (a,b) дважды – с шагом h и h/2.

(рис.1)

если I_h - I_h_/2<3 , то | I_h_/2 – I_точное |< . И поэтому в начале точное значение интеграла можно взять I_h_/2(оно будет найдено с заданной точностью).

Итак, при вычислении интеграла с помощью двойного пересчёта поступаем следующим образом: I_h - I_h_/2<3 , I_точное = I_h_/2

если точность не достигнута, то шаг h уменьшаем в 2 раза, находим и так далее, пока точность не будет достигнута.

Замечание:

Формула трапеции имеет 2-ой порядок точности, т.к. в оценке для глобальных формул трапеции (имеется в виду глобальный вариант формулы (т.е. применяем формулу на одном и том же интервале)) и поэтому при уменьшении шага в k раз - уменьшается в раз.

Формула Симпсона имеет 4-ый порядок точности, т.к. .

Метод коррекции в двойном пересчёте.

Как видно из графика (рис.1),при двойном пересчёте в качестве I_{точного} выгодно использовать не I_h_/2, а:

I = I_h_/2+1/3(I_h_/2-I_h) = I_кор

После коррекции по этой формуле точность метода возрастает на порядок, т.е. метод трапеции будет не второго, а третьего; а Симпсона – пятого порядка точности.

При использовании формулы Симпсона в методе двойного пересчета вместо 3 будет 15 .

Если |I_h-I_h_/2|<15 , то I_h_/2– значение интеграла с погрешностью, не больше .

Тема 6: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений (ДУ и СДУ).

П.1. Постановка задачи.

Необходимо решить ДУ и СДУ на некотором наперёд заданном интервале с наперёд заданной точностью, либо оценить погрешность, которая найдена решением.

В ЧМ мы ищем только частные решения ДУ.

П.2. Простейший вариант задачи.

Простейший метод её решения – метод Эйлера.

Имеем ДУ 1-го порядка, а вместе с ним одно начальное условие:

(Задача Коши)

В дальнейшем всегда будем рассматривать ДУ, разрешенное относительно старшей производной, т.е. вида:

(6.1)

Общая идея всех методов численного решения ДУ и СДУ:

Фиксируем шаг h и будем находить по некоторым специальным формулам

- задан, , ,…, , где - равностоящие точки, а , -границы интервала [a,b], на котором нам необходимо найти решение ДУ.

При этом, необходимо брать шаг h достаточно малым, с тем, чтобы погрешность была невелика.

Простейший метод решения ДУ – метод Эйлера:

Заметим, что - величина нам известная. Заменим неизвестное нам решение ДУ на касательную, а именно:

В общем виде: (формула Эйлера).

Геометрическая интерпретация метода Эйлера:

Локальная погрешность метода Эйлера:

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 504; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!