Постановка задачи численного дифференцирования

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

В точках , -известны значения функции . Задача численного дифференцирования – найти значение производной f’ или f” или … в любой наперед заданной точке х. Поступаем также как при интерполяции.

Общие идеи:

Заменяем неизвестную функцию f на интерполирующий многочлен Р.

; , а её производная И.М. Продифференцировав формулы для И.М. Схема Эйткена сразу отпадает, т.к. это схема, а не формула.

Формула Лагранжа громоздка, следовательно, будем дифференцировать формулу Ньютона И.М.

Формулы численного дифференцирования.

Рассмотрим 1-ую формулу Ньютона И.М.:

дифференцируем по х:

Формулу в (5.1) дифференцируем по у:

В формулах (5.1) и (5.2) решение можно обрывать раньше. При этом, если в этих формулах до k, то мы получим производную И.М., которая интерполирует функцию не во всех ( ), а только ( ) точках.

Пусть в (5.1) и (5.2) , т.е. q=0, получаем:

(5.3)

(5.4)

На практике удобнее дифференцировать не односторонние формулы (1,2 формулы Ньютона), а центральные (формулу Стирлинга), так как узлы интерполяции располагаются симметрично относительно начальной точки x₀. Возьмём в формуле Стирлинга первые три слагаемых (интерполяция по трём точкам x_-1 ,x₀ ,x₁), получим:

Если же в формуле Стирлинга взять не 3, а 5 первых слагаемых (интерполяция по 5-ти точкам x_-2 ,x_-1 ,x₀ ,x₁,x₂) продифференцируем и подставим , то получим:

Если взять 3 первых слагаемых и продифференцировать дважды по q, то получим:

Оценка погрешностей численного дифференцирования.

Также как и при интерполяции в численном дифференцировании возникают две погрешности: и .

Погрешность усечения – из-за замены функции на ее интерполирующий многочлен и ее производной на производную от интерполяционного многочлена.

Погрешность округления – из-за того, что значение функции в узлах x_i известны не точно, а с некоторой погрешностью h. Оценим погрешность усечения.

Теорема 5.1:

Погрешность усечения в формуле (5.3) численного дифференцирования (при суммировании k-слагаемых) имеет следующую оценку:

где С Î [х₀,х_к].

Доказательство:

Замечания:

При доказательстве теоремы был использован тот факт, что С=С(х) и С’(x) – существует. Это будет так, если функция f была достаточно гладкой.

Из-за того, что С’(x) мы вообще никак не можем оценить, погрешность усечения мы можем находить только в узлах интерполяции, с тем, чтобы 1-ое слагаемое, где присутствует С’(x), занулилось.

На практике формулу (5.8) мы заменяем на формулу (5.9) (оценка сверху для )

(5.9)