Елементи атомної фізики і квантової механіки

Основні закони і співвідношення

Воднеподібні атоми в теорії Бора. Гіпотеза де Бройля. Співвідношення невизначеностей

Момент імпульсу орбітального руху електрона у стаціонарному стані

Де: m, u, r – маса, лінійна швидкість, радіус колової орбіти електрона, відповідно; – постійна Дірака; h – постійна Планка; n – квантове число стаціонарного стану .

Радіус n-ої стаціонарної орбіти

де а₀ – борівський радіус, тобто радіус першої борівської орбіти електрона в атомі водню, Z – порядковий номер елемента (H, He, Li…) в періодичній системі Д.І. Менделєєва.

Енергія електрона у стаціонарному стані

де R – постійна Рідберга, с – швидкість світла у вакуумі, – енергія іонізації атома.

Випромінювання і поглинання світла атомом

Енергія випроміненого (поглинутого) фотона

де n – частота випромінювання.

Узагальнена серіальна формула Бальмера для довжин хвиль випромінювання воднеподібних атомів

де: n₁ – квантове число стану, на який відбувається перехід електрона; n₂ – квантове число стану, з якого відбувається перехід електрона .

Хвильові властивості мікрочастинок

Довжина і частота хвилі де Бройля

де р – імпульс частинки, Е – її енергія.

Зв'язок модуля імпульсу з кінетичною енергією для:

класичної частинки – ,

релятивістської частинки – ,

де m – маса частинки, – її кінетична енергія, – її енергія спокою.

Фазова і групова швидкості хвилі де Бройля

де – циклічна частота, – хвильове число.

Співвідношення невизначеностей Гайзенберга

D характеризує невизначеність відповідних величин: координати, імпульсу, енергії, часу.

Рівняння Шрьодінгера і його розв’язки

Рівняння Шрьодінгера для стаціонарних станів

де – оператор Гамільтона, – оператор Лапласа, U – оператор потенціальної енергії частинки, Y – хвильова функція, – густина ймовірності, Е – енергія частинки.

Середнє значення фізичних величин f, що характеризують частинку,

Частинка в потенціальному ящику з нескінченно високими стінками:

енергія частинки

де m – маса частинки, l – ширина ящика, – квантове число стану;

хвильова функція

де x – координати частинки .

Прозорість (ймовірність тунелювання) прямокутного потенціального бар’єру

де l – ширина бар’єру, – висота бар’єру, Е – енергія частинки.

Енергія квантового лінійного осцилятора

де – власна циклічна частота осцилятора масою m, – коливальне квантове число, k – коефіцієнт пропорційності у виразі для квазіупружної сили.

Воднеподібний атом у квантовій теорії:

енергія електрона– ,

де – головне квантове число;

орбітальний момент імпульсу електрона – ,

де – орбітальне (азимутальне) квантове число;

проекція орбітального моменту імпульсу електрона на напрямок z – ,

де – магнітне квантове число;

хвильова функція електрона (у сферичних координатах)

де ; ; ; ; а₀ – борівський радіус;

стани електрона з різними значеннями

	0	1	2	3	4 …	.
стан	s	p	d	f	g ...	.

Власний момент імпульсу електрона

де – спінове квантове число;

проекція цього моменту на напрямок z – ,

де – магнітне спінове квантове число.

Квантові числа електронів у складних атомах:

;

кількість електронів: у шарі – , в оболонці – ;

електронна конфігурація атомів

Формула Мозлі для розрахунку довжин хвиль характеристичного рентгенівського випромінювання

де s – постійна екранування ( для К-серії), n₁ – головне квантове число шару, на який відбувається перехід електрона ( для К-серії); n₂ – головне квантове число шару, з якого відбувається перехід електрона ( ).

Приклади розв’язування задач

1. Частинку будемо вважати класичною, якщо або (значення енергії спокою деяких частинок подані в довіднику). В інших випадках необхідно користуватись формулами релятивістської механіки.

2. При використанні співвідношень невизначеностей необхідно врахувати, що невизначеність деякої фізичної величини не може перевищувати значення самої величини; тому покладають, як правило, , або , де l – лінійний розмір простору перебування частинки.

3. При оцінці мінімального значення енергії частинки використовується класичний вираз для механічної енергії; для одновимірного руху вираз досліджується на екстремум, при цьому попередньо враховується, що (див. зауваження 2).

4. При інтегруванні виразів, в які входить хвильова функція, елементарний об’єм: – для одновимірного руху; – для об’єктів з центральною симетрією.

Для полегшення розрахунків деякі інтеграли подані в довіднику.

Приклад 1. Початково нерухомий електрон пройшов прискорюючу різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля електрона у двох випадках: 1) ; 2) .

Розв'язання

Дано: m = 9,1×10^-31кг U₁ = 51 В U₂ = 510 кВ

За гіпотезою де-Бройля

. (1.1)

Імпульс електрона виразимо через його кінетичну енергію

е – елементарний заряд.

Якщо врахувати, що енергія спокою електрона , то у випадку «1» переконуємося, що електрон класичний. Тому

. (1.2)

У випадку «2» електрон релятивістський і

. (1.3)

Підставляючи (1.2) та (1.3) в (1.1), отримаємо:

Врахуємо, що , тому

де – комптонівська довжина хвилі електрона. Отже

У другому випадку і тому

;

Відповідь: .

Приклад 2. Кінетична енергія електрона в атомі водню є величиною порядку 10еВ. Оцінити мінімальний лінійний розмір атома.

Розв'язання

Дано: m = 9,1×10^-31кг

Використаємо співвідношення невизначеностей координати та проекції імпульсу електрона

. (2.1)

Якщо лінійний розмір атома l, то покладемо , а . Підставивши ці значення у (2.1) і зберігши знак рівності, що відповідає , отримаємо

. (2.2)

Оскільки при електрон класичний, то

. (2.3)

Об’єднавши (2.2) і (2.3), отримаємо

. (2.4)

Виконаємо числовий розрахунок:

, ;

Відповідь: 0,12 нм.

Приклад 3. Оцінити мінімальне значення повної енергії лінійного гармонічного осцилятора.

Розв'язання

Повна класична енергія лінійного гармонічного осцилятора

. (3.1)

Використаємо співвідношення невизначеностей (зберігши знак рівності), поклавши та . Отримаємо

. (3.2)

Підставимо р з (3.2) у (3.1):

. (3.3)

Дослідимо (3.3) на екстремум, прирівнявши до нуля першу похідну від Е по х:

Визначивши звідси і підставивши його в (3.3), отримаємо мінімальне значення

Відмітимо, що цей результат всього у два рази перевищує точне значення енергії нульових коливань квантовомеханічного гармонічного осцилятора

Приклад 4. Частинка в потенціальному ящику шириною l перебуває в першому збудженому стані. Знайти ймовірність знаходження частинки в інтервалі , який рівновіддалений від стінок ящика.

Розв'язання

Дано: n = 2

W ?

Імовірність W знайти частинку в інтервалі визначається інтегралом

, (4.1)

де – нормована власна хвильова функція

. (4.2)

Підставляючи (4.2) в (4.1), отримаємо

. (4.3)

Використаємо відповідний інтеграл з довідника:

Відповідь: 0,091.

Приклад 5. Протон і електрон, які пройшли однакову прискорюючу різницю потенціалів , налітають на прямокутний потенціальний бар’єр шириною і висотою . У скільки разів відрізняються прозорості бар’єру для електрона і протона?

Розв'язання

Дано: |Dj| = 10 кВ = 1×10⁴ В U₀ = 20 кеВ = 3,2×10^-15 Дж d = 0,1 пм = 1×10^{-13 м} m_e = 9,1×10^{-31 кг} m_p = 1,67×10^{-27 кг}

Оскільки заряди протона і електрона однакові за абсолютною величиною , то їх кінетичні енергії після прискорення однакові і рівні

. (5.1)

Запишемо формули прозорості бар'єру для електронів і для протонів

, (5.2)

. (5.3)

Поділивши (5.2) на (5.3), з урахуванням (5.1) отримаємо

. (5.4)

Оскільки формули (5.2) та (5.3) наближені, то при підрахунках можна опустити , бо , і записати (5.4) у вигляді:

. (5.5)

Підставимо числові значення:

Відповідь: у 70 разів.

Приклад 6. Квантовий лінійний гармонічний осцилятор масою 1×10^{-28 кг, на котрий діє квазіпружна сила , перебуває в основному стані. Чи може цей осцилятор поглинути квант з довжиною хвилі ?}

Розв’язання

Дано: m = 1×10^{-28 кг} k = 1×10² Н/м l = 1,8 мкм = 1,8×10^{-6 м}

Енергія поглинутого фотона повинна бути не меншою від відстані між основним і першим збудженим енергетичними рівнями осцилятора, тобто повинна виконуватись нерівність

. (6.1)

Врахуємо, що енергія фотона

, (6.2)

а енергія осцилятора в стані з коливальним квантовим числом u

. (6.3)

Підставляючи (6.2) і (6.3) в (6.1), отримаємо після скорочення на

. (6.4)

Врахувавши, що

, (6.5)

отримаємо

. (6.6)

Підставимо в (6.6) числові значення:

;

Оскільки, умова (6.1) виконується, то фотон поглинається квантовим осцилятором.

Відповідь: може.

Приклад 7. Знайти середнє значення потенціальної енергії електрона в полі ядра атома водню, що перебуває в основному стані.

Розв'язання

Дано: Z = 1 n = 1 l = 0 m_l = 0

Середнє значення потенціальної енергії U знайдеться як

. (7.1)

В основному стані, тобто в 1s-стані, власна нормована хвильова функція має вигляд

, (7.2)

де a₀ – борівськкй радіус.

Класична потенціальна енергія електрона в полі ядра

. (7.3)

Підставивши (7.2), (7.3) в (7.2), з урахуванням того, що елементарний об'єм , отримаємо

. (7.4)

Підставимо числові значення:

, , ;

Відповідь: -27,2 еВ.

Приклад 8. Атом водню, що перебував у збудженому стані, перейшов у нижчий сусідній стан, випромінивши квант енергії з довжиною хвилі . До якої серії належить спектральна лінія цього кванту? Знайти можливу зміну моменту імпульсу орбітального руху електрона (в одиницях ) при такому переході.

Розв'язання

Дано: Z = 1 l = 121,5 нм = 1,215×10^{-7 м} n₂ – n₁ = 1

n₁? DL?

Використаємо узагальнену формулу Бальмера для атома водню :

, (8.1)

де n₁ і n₂ – головні квантові числа станів. Звідси

. (8.2)

Підставимо числові значення l і сталої Рідберга ( , ):

.(8.3)

Оскільки , то (8.3) можливе лише при і . Отже, ми маємо справу зі спектральною лінією серії Лаймана. Зрозуміло, що в даній ситуації, коли верхнім є p-стан , а нижнім – s-стан (інші варіанти відпадають за правилами відбору), легко знайти зміну модуля орбітального моменту імпульсу електрона як

Відповідь: 1) до серії Лаймана; 2) .

Приклад 9. Записати електронну конфігурацію атома в основному стані.

Розв'язання

В основному (незбудженому) стані електрони заповнюють шари і оболонки з мінімальною енергією (не порушуючи принцип Паулі). Тому 2 електрони заповнять К-шар (s-оболонка), 8 електронів заповнять L-шар (s- і p-оболонки) і 2 електрони розмістяться в M-шарі (s-оболонка). Отже, електронна конфігурація атома магнію має вигляд

Приклад 10. Визначити найменшу довжину хвилі в К-серії характеристичного рентгенівського спектру міді .

Розв'язання

Дано: Z = 29 s = 1 n₁ = 1

l_min?

Лінії К-серії виникають при переході електрона на вакантне місце в К-шарі з вищих шарів. Найменшій довжині хвилі відповідає найбільша енергія фотона. Отже, в даній задачі електрон переходить з найвищого заповненого шару. Якщо розглянути електронну конфігурацію міді , то таким є N-шар .

Використаємо формулу Мозлі, врахувавши, що стала екранування для К-серії :

Стала Рідберга ;

;

Відповідь: 0,124 нм.

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 666; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8910 11 12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!