Частина II. Коливання і хвилі

де:  та  – напруженості електричного і магнітного полів хвилі,  та  – амплітуди відповідних величин.

· Зв’язок модулів напруженостей E і H

,

де:  та  – електрична і магнітна сталі; e та m – діелектрична і магнітна проникності середовища.

· Модуль швидкості поширення електромагнітних хвиль

,

 – електродинамічна стала. Оскільки v залежить від середовища, то й довжина хвилі різна в різних середовищах (період коливань і, відповідно, частота незмінні).

· Інтенсивність електромагнітної хвилі

.

Приклади розв’язування задач

Приклад 1.Матеріальна точка масою m = 5 г здійснює гармонічні коливання з частотою n₀ = 0,5 Гц. Амплітуда коливань А = 3 см. Визначити: 1) модуль швидкості v точки в момент часу, коли зміщення x = 1,5 см; 2) максимальне значення модуля діючої сили F_max; повну енергію W точки.

Розв’язання

Рівняння гармонічних коливань має вигляд

,

де w₀ – власна циклічна частота, a – початкова фаза коливань. Продиференціювавши це рівняння, отримаємо вираз для проекції вектора швидкості

.

Щоб пов’язати цю величину зі зміщенням, заданим в умові задачі, піднесемо обидва виписані рівняння до квадрату і додамо одержані вирази:

,

,

.

Звідси .

Врахуємо тепер зв’язок циклічної частоти з лінійною  і вираз модуля вектора через його проекції, котрий в одновимірному випадку зводиться до . Остаточно маємо

.                                              

Щоб розрахувати величину F_max, запишемо другий закон Ньютона у проекціях на напрям вектора прискорення :

.                                                 

Проекцію прискорення знайдемо як похідну по часу від проекції швидкості

.                    

Тепер

.        

Очевидно, що , якщо , тому остаточно

.                                  

Повну механічну енергію коливної точки розраховують за формулою , отже

.                                       

Виписуємо тепер значення величин в міжнародній системі одиниць і виконуємо числовий розрахунок:

; ; ;

;     

;          

.             

Відповідь: , , .

Приклад 2. Записати рівняння коливання, отриманого при складанні двох однаково направлених гармонічних коливань  та .

Розв’язання

Дано:

Результатом додавання двох гармонічних коливань однакової частоти та однакового напрямку є теж гармонічне коливання тієї ж частоти і того самого напрямку:

,                         

де амплітуда А розраховується за формулою

,          

а початкова фаза a знаходиться з рівняння

.                      

Величини А₁, А₂, a₁, a₂ та w₀ маємо з порівняння загального вигляду рівняння гармонічних коливань і рівнянь з умови задачі:

, , , , .

Маємо

,

.

Тепер рівняння результуючого коливання

.                         

Відповідь: .

Приклад 3. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливаннях, рівняння яких  та , де , , . Знайти рівняння траєкторії точки. Побудувати траєкторію з дотриманням масштабу.

Розв’язання

Дано:

Щоб знайти рівняння траєкторії (рівняння, що пов’язує змінні x та y), виключимо час t з рівнянь, що задані в умові. Для цього використаємо формулу . У нас , тому маємо

.   

Але з першого рівняння умови задачі , тому остаточно маємо рівняння траєкторії

.                              

Це – рівняння параболи, вісь якої співпадає з віссю Ох. З вихідних рівнянь умови задачі бачимо, що зміщення точки по осях координат обмежене, а саме: , .

Для побудови траєкторії знайдемо за робочою формулою значення у, що відповідають ряду значень х з інтервалу , і складемо таблицю:

Побудуємо тепер графік.

Відповідь: .

Приклад 4. Дано фізичний маятник у формі стрижня довжиною l = 1 м і масою 3m₁ з прикріпленим до одного з його кінців обручем діаметром d = 0,5 l і масою m₁. Горизонтальна вісь Oz маятника проходить через середину стрижня перпендикулярно до нього (див. рис.). Визначити період Т коливань такого маятника.

Розв’язання

Період коливань фізичного маятника визначають за формулою

,                            

де g – прискорення вільного падіння, L – зведена довжина маятника.

,                             

m – маса маятника, l_с – відстань від центра мас до осі коливань, I – момент інерції маятника відносно цієї осі. Вісь коливань на рисунку проходить через т. О перпендикулярно до площини рисунка. Тепер

.                          (1)

Момент інерції маятника рівний сумі моментів інерції стрижня І₁ та обруча І₂:

.                                (2)

Момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його центр мас перпендикулярно до самого стрижня, визначається за формулою , тому

.                                   

Момент інерції обруча знайдемо з використанням теореми Штейнера , де: І – момент інерції відносно довільної осі, І₀ – момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас (в даному випадку обруча) паралельно до заданої осі; а – відстань між цими осями (див. рис.). Одержуємо для обруча

.              

Підставляючи вирази І₁ та І₂ у формулу (2), знайдемо

.                      

Відстань l_с розраховуємо, виходячи з означення центра мас системи матеріальних точок (м.т.), точніше, з формули для обчислення координати центра мас

, і – номер м.т.                   

(  зручно вибрати в т. О, а саму вісь Ох направити до центра мас обруча; при цьому ). Маємо

.                        

Підставляючи у формулу (1) вирази І, l_с та масу маятника (4m₁), знайдемо період його коливань:

.                                             

Числовий розрахунок:

.                       

Відповідь: 2,2 с.

Приклад 5. Амплітуда згасаючих коливань за час t₁ = 20 с зменшилася у два рази. У скільки разів вона зменшиться за час t₂ = 1 хв?

Розв’язання

Дано: t1 = 20 с t2 = 1 хв

Залежність амплітуди згасаючих коливань від часу визначається співвідношенням

,                                              

де  при , b – коефіцієнт згасання. Запишемо згадане співвідношення для моментів часу t₁ і t₂:

Перепишемо цю систему рівнянь у формі

Очевидно, що , тому відразу дістанемо робочу формулу

.                               

Виконаємо числовий розрахунок:

;

.                               

Відповідь: у вісім разів.

Приклад 6. Знайти жорсткість пружини ресори вагона, вага якого з вантажем Р = 5×10⁵ Н, якщо при швидкості, модуль якої v = 12 м/с, вагон сильно розгойдується внаслідок поштовхів на стиках рейок. Довжина рейки l = 12,8 м. Вагон має 4 ресори.

Розв’язання

Значне розгойдування вагона виникає тоді, коли період власних коливань вагона з вантажем співпадає з періодом сили, котра викликає його вимушені коливання.

Період дії змушувальної сили знайдемо, розділивши довжину рейки на модуль швидкості вагона, тобто

.                                          

Період власних коливань вагона з вантажем (пружинного маятника) визначається за формулою

,                             

m – маса системи,  – жорсткість системи з паралельно з’єднаних однакових пружин. Врахуємо, що потенціальна енергія такої системи стиснених пружин рівна n енергій однієї пружини, адже зміщення х у всіх пружин одне:

.                               

Тому . Разом з тим, , g – прискорення вільного падіння.

Прирівняємо праві частини двох формул для розрахунку періоду

.                          

Звідси

.                              

Числовий розрахунок:

.

Відповідь: 0,41 МН/м.

Приклад 7. Плоска хвиля поширюється вздовж прямої зі швидкістю, модуль якої v = 20 м/с. Дві точки, що розміщені на цій прямій на відстанях х₁ = 12 м та х₂ = 15 м від джерела хвилі, коливаються з різницею фаз . Знайти довжину хвилі l, написати рівняння хвилі і знайти зміщення вказаних точок в момент часу , якщо амплітуда коливань А = 0,1 м та початкова фаза хвилі .

Розв’язання

Дано: v = 20 м/с х1 = 12 м х2 = 15 м А = 0,1 м

l ?

Рівняння плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі Ох, має вигляд

,    (1)

де:  – зміщення в точці, що на відстані х від джерела, в момент часу t; w – циклічна частота коливань.

Фаза хвилі – аргумент косинуса, тому різниця фаз

.

Оскільки , а довжина хвилі  (Т – період коливань), то маємо

                                   (2)

і . Звідси

.                        (3)

Рівняння хвилі (1) тепер запишемо з урахуванням формули (2):

  (4).

Підставимо у робочі формули (3) і (4) значення фізичних величин.

,                              

.                   

Тепер розрахуємо  та :

Відповідь: ; ; ; .

Приклад 8. В коливальному контурі, індуктивність якого L = 0,01 Гн, заряд конденсатора зменшується в десять разів за час, рівний періоду коливань Т = 1×10^-5 с. Визначити опір контура.

Розв’язання

Дано: L = 0,01 Гн Т = 1×10-5 с

R ?

Рівняння згасаючих електромагнітних коливань має вигляд:

,              

де  – заряд у довільний момент часу t, , b – коефіцієнт згасання, w – циклічна частота згасаючих коливань, a – початкова фаза.

Через період коливань заряд стане рівним

.       

Оскільки  (зв’язок циклічної частоти з періодом), то , тому маємо

або

.                                       

Коефіцієнт згасання для електромагнітних коливань

,                                                    

тому попереднє співвідношення приймає вигляд

або

.                                    

Числовий розрахунок:

.                 

Відповідь: 4,6 кОм.

Приклад 9. Коливальний контур складається з конденсатора, ємність якого С = 1/3×10^-8 Ф, та котушки з індуктивністю Гн. Знайти період вільних коливань у контурі, коефіцієнт згасання та логарифмічний декремент згасання, якщо опір котушки R = 60 Ом.

Розв’язання

Період згасаючих електромагнітних коливань

.                                  

Коефіцієнт згасання

.                                        

Логарифмічний декремент згасання

.                                        

Підставимо значення фізичних величин у виписані формули:

;

;                  

.                       

Відповідь: Т = 1,5 мкс; b = 2,5×10⁶ с^-1; l = 3,7.

Приклад 10. Плоска електромагнітна хвиля поширюється в однорідному ізотропному середовищі з діелектричною проникністю  та магнітною проникністю . Модуль амплітуди напруженості електричного поля хвилі . Визначити: 1) фазову швидкість хвилі; 2) модуль амплітуди напруженості магнітного поля хвилі.

Розв’язання

Дано:

v ? Hmax ?

Фазова швидкість електромагнітних хвиль

Модулі напруженостей електричного і магнітного полів хвилі Е та Н пов’язані співвідношенням

де  і  – електрична та магнітна сталі.

Оскільки рівняння плоскої хвилі (записане через модулі векторів  та ) має вигляд

,                      

де w – циклічна частота, t – час, k – хвильове число, x – відстань від джерела хвилі до точки простору, a – початкова фаза, то маємо аналогічний зв’язок між модулями амплітуд напруженостей:

.                         

Звідси

.                                 

Числовий розрахунок:

.

; .

Відповідь: ; .

Мы поможем в написании ваших работ!