Частина II. Коливання і хвилі
Основні закони і співвідношення
· Рівняння гармонічного коливання має вигляд
або
,
де: x – зміщення коливної точки (чи центра мас тіла) від положення рівноваги; А – амплітуда; t – час; a – початкова фаза; w0 – циклічна частота власних незгасаючих коливань (власна циклічна частота).
· Частота (лінійна)
,
період коливань
,
де N – число коливань за час t.
· Зв’язок циклічної частоти з періодом
.
· Формули для розрахунку періоду вільних незгасаючих механічних коливань різних осциляторів:
а) пружинного маятника
;
б) математичного маятника
;
в) фізичного маятника
.
Тут: m – маса маятника (у випадку а) – це маса матеріальної точки чи тіла, прикріпленого до пружини); k – жорсткість пружини; l – відстань від центра мас маятника до точки підвісу (у випадку б) ця величина співпадає з довжиною нитки); g – прискорення вільного падіння; L – зведена довжина фізичного маятника;
,
де І – момент інерції маятника відносно осі, що проходить через точку підвісу перпендикулярно до площини коливань центра мас.
· У випадку фізичного маятника рівняння коливань прийнято записувати через кут відхилення j від положення рівноваги (кутове зміщення)
.
· Кінетична енергія осцилятора
,
Потенціальна енергія
,
Повна механічна енергія
.
· При складанні двох однаково направлених гармонічних коливань однакової частоти одержується гармонічне коливання тієї ж частотиз амплітудою
|
|
та з початковою фазою a, що задовільняє рівняння
.
Тут A1 і A2 – амплітуди вихідних коливань, a1 та a2 – початкові фази.
· При складанні двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань однакової частоти рівняння траєкторії результуючого руху має вигляд
,
А – амплітуда коливання по осі Ох, В – по осі Оу.
· Рівняння згасаючих коливань
,
де: А0 – амплітуда при ; b – коефіцієнт згасання, w – циклічна частота згасаючих коливань,
.
· Логарифмічний декремент згасання
.
· Рівняння усталених вимушених коливань
,
де: w – циклічна частота зовнішньої періодично діючої сили;
;
;
F0 – амплітудне значення змушувальної сили.
· Резонансна частота
.
· Рівняння плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі Ох:
або
,
де: – зміщення коливної точки в момент часу t в точці простору з координатою х; А – амплітуда коливань; w – циклічна частота; v – модуль фазової швидкості хвилі; a – початкова фаза; – хвильове число; – довжина хвилі; Т – період коливань.
· Модуль швидкості звуку в рідині
,
де r – густина, b – адіабатична стисливість рідини.
· Модуль швидкості поширення звуку в газах (близьких до ідеального)
,
де g – коефіцієнт Пуасона (показник адіабати), R – універсальна газова стала, m – молярна маса, Т – абсолютна температура.
|
|
· Закони зміни з часом заряду на обкладках конденсатора та різниці потенціалів між обкладками в реальному коливальному контурі за формою однакові, адже U та q є прямо пропорційними величинами( , С – електроємність):
,
,
де коефіцієнт згасання коливань , R – активний опір котушки, L – її індуктивність, , , q0 і U0 – значення qmax та Umax при t = 0, причому .
Закон зміни сили струму запишемо лише для ідеального контура (R = 0):
,
. Період коливань в такому контурі
.
· Період електромагнітних коливань в реальному контурі
.
· У випадку вимушених електромагнітних коливаньрезонанс напруг наступає, якщо циклічна частота зовнішньої періодичної напруги наближається до резонансної частоти контура , а резонанс струмів при .
· Рівняння плоскої електромагнітної хвилі, що поширюється вздовж осі Ох
де: та – напруженості електричного і магнітного полів хвилі, та – амплітуди відповідних величин.
· Зв’язок модулів напруженостей E і H
,
де: та – електрична і магнітна сталі; e та m – діелектрична і магнітна проникності середовища.
· Модуль швидкості поширення електромагнітних хвиль
|
|
,
– електродинамічна стала. Оскільки v залежить від середовища, то й довжина хвилі різна в різних середовищах (період коливань і, відповідно, частота незмінні).
· Інтенсивність електромагнітної хвилі
.
Приклади розв’язування задач
Приклад 1.Матеріальна точка масою m = 5 г здійснює гармонічні коливання з частотою n0 = 0,5 Гц. Амплітуда коливань А = 3 см. Визначити: 1) модуль швидкості v точки в момент часу, коли зміщення x = 1,5 см; 2) максимальне значення модуля діючої сили Fmax; повну енергію W точки.
Розв’язання
Дано: m = 5 г n0 = 0,5 Гц А = 3 см х = 1,5 см |
v ? Fmax ? W ? |
Рівняння гармонічних коливань має вигляд
,
де w0 – власна циклічна частота, a – початкова фаза коливань. Продиференціювавши це рівняння, отримаємо вираз для проекції вектора швидкості
.
Щоб пов’язати цю величину зі зміщенням, заданим в умові задачі, піднесемо обидва виписані рівняння до квадрату і додамо одержані вирази:
,
,
.
Звідси .
Врахуємо тепер зв’язок циклічної частоти з лінійною і вираз модуля вектора через його проекції, котрий в одновимірному випадку зводиться до . Остаточно маємо
.
|
|
Щоб розрахувати величину Fmax, запишемо другий закон Ньютона у проекціях на напрям вектора прискорення :
.
Проекцію прискорення знайдемо як похідну по часу від проекції швидкості
.
Тепер
.
Очевидно, що , якщо , тому остаточно
.
Повну механічну енергію коливної точки розраховують за формулою , отже
.
Виписуємо тепер значення величин в міжнародній системі одиниць і виконуємо числовий розрахунок:
; ; ;
;
;
.
Відповідь: , , .
Приклад 2. Записати рівняння коливання, отриманого при складанні двох однаково направлених гармонічних коливань та .
Розв’язання
Дано: |
Результатом додавання двох гармонічних коливань однакової частоти та однакового напрямку є теж гармонічне коливання тієї ж частоти і того самого напрямку:
,
де амплітуда А розраховується за формулою
,
а початкова фаза a знаходиться з рівняння
.
Величини А1, А2, a1, a2 та w0 маємо з порівняння загального вигляду рівняння гармонічних коливань і рівнянь з умови задачі:
, , , , .
Маємо
,
.
Тепер рівняння результуючого коливання
.
Відповідь: .
Приклад 3. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливаннях, рівняння яких та , де , , . Знайти рівняння траєкторії точки. Побудувати траєкторію з дотриманням масштабу.
Розв’язання
Дано: |
Щоб знайти рівняння траєкторії (рівняння, що пов’язує змінні x та y), виключимо час t з рівнянь, що задані в умові. Для цього використаємо формулу . У нас , тому маємо
.
Але з першого рівняння умови задачі , тому остаточно маємо рівняння траєкторії
.
Це – рівняння параболи, вісь якої співпадає з віссю Ох. З вихідних рівнянь умови задачі бачимо, що зміщення точки по осях координат обмежене, а саме: , .
Для побудови траєкторії знайдемо за робочою формулою значення у, що відповідають ряду значень х з інтервалу , і складемо таблицю:
х, см | -1 | -0,75 | -0,5 | 0 | +0,5 | +1 |
у, см | 0 | ±0,707 | ±1 | ±1,41 | ±1,73 | ±2 |
Побудуємо тепер графік.
Відповідь: .
Приклад 4. Дано фізичний маятник у формі стрижня довжиною l = 1 м і масою 3m1 з прикріпленим до одного з його кінців обручем діаметром d = 0,5 l і масою m1. Горизонтальна вісь Oz маятника проходить через середину стрижня перпендикулярно до нього (див. рис.). Визначити період Т коливань такого маятника.
Розв’язання
Дано: l = 1 м mстр = 3m1 d = 0,5 l mобр = m1 |
Т ? |
Період коливань фізичного маятника визначають за формулою
,
де g – прискорення вільного падіння, L – зведена довжина маятника.
,
m – маса маятника, lс – відстань від центра мас до осі коливань, I – момент інерції маятника відносно цієї осі. Вісь коливань на рисунку проходить через т. О перпендикулярно до площини рисунка. Тепер
. (1)
Момент інерції маятника рівний сумі моментів інерції стрижня І1 та обруча І2:
. (2)
Момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його центр мас перпендикулярно до самого стрижня, визначається за формулою , тому
.
Момент інерції обруча знайдемо з використанням теореми Штейнера , де: І – момент інерції відносно довільної осі, І0 – момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас (в даному випадку обруча) паралельно до заданої осі; а – відстань між цими осями (див. рис.). Одержуємо для обруча
.
Підставляючи вирази І1 та І2 у формулу (2), знайдемо
.
Відстань lс розраховуємо, виходячи з означення центра мас системи матеріальних точок (м.т.), точніше, з формули для обчислення координати центра мас
, і – номер м.т.
( зручно вибрати в т. О, а саму вісь Ох направити до центра мас обруча; при цьому ). Маємо
.
Підставляючи у формулу (1) вирази І, lс та масу маятника (4m1), знайдемо період його коливань:
.
Числовий розрахунок:
.
Відповідь: 2,2 с.
Приклад 5. Амплітуда згасаючих коливань за час t1 = 20 с зменшилася у два рази. У скільки разів вона зменшиться за час t2 = 1 хв?
Розв’язання
Дано: t1 = 20 с t2 = 1 хв |
Залежність амплітуди згасаючих коливань від часу визначається співвідношенням
,
де при , b – коефіцієнт згасання. Запишемо згадане співвідношення для моментів часу t1 і t2:
Перепишемо цю систему рівнянь у формі
Очевидно, що , тому відразу дістанемо робочу формулу
.
Виконаємо числовий розрахунок:
;
.
Відповідь: у вісім разів.
Приклад 6. Знайти жорсткість пружини ресори вагона, вага якого з вантажем Р = 5×105 Н, якщо при швидкості, модуль якої v = 12 м/с, вагон сильно розгойдується внаслідок поштовхів на стиках рейок. Довжина рейки l = 12,8 м. Вагон має 4 ресори.
Розв’язання
Дано: Р = 5×105 Н v = 12 м/с l = 12,8 м n = 4 |
k ? |
Значне розгойдування вагона виникає тоді, коли період власних коливань вагона з вантажем співпадає з періодом сили, котра викликає його вимушені коливання.
Період дії змушувальної сили знайдемо, розділивши довжину рейки на модуль швидкості вагона, тобто
.
Період власних коливань вагона з вантажем (пружинного маятника) визначається за формулою
,
m – маса системи, – жорсткість системи з паралельно з’єднаних однакових пружин. Врахуємо, що потенціальна енергія такої системи стиснених пружин рівна n енергій однієї пружини, адже зміщення х у всіх пружин одне:
.
Тому . Разом з тим, , g – прискорення вільного падіння.
Прирівняємо праві частини двох формул для розрахунку періоду
.
Звідси
.
Числовий розрахунок:
.
Відповідь: 0,41 МН/м.
Приклад 7. Плоска хвиля поширюється вздовж прямої зі швидкістю, модуль якої v = 20 м/с. Дві точки, що розміщені на цій прямій на відстанях х1 = 12 м та х2 = 15 м від джерела хвилі, коливаються з різницею фаз . Знайти довжину хвилі l, написати рівняння хвилі і знайти зміщення вказаних точок в момент часу , якщо амплітуда коливань А = 0,1 м та початкова фаза хвилі .
Розв’язання
Дано: v = 20 м/с х1 = 12 м х2 = 15 м А = 0,1 м |
l ? |
Рівняння плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі Ох, має вигляд
, (1)
де: – зміщення в точці, що на відстані х від джерела, в момент часу t; w – циклічна частота коливань.
Фаза хвилі – аргумент косинуса, тому різниця фаз
.
Оскільки , а довжина хвилі (Т – період коливань), то маємо
(2)
і . Звідси
. (3)
Рівняння хвилі (1) тепер запишемо з урахуванням формули (2):
(4).
Підставимо у робочі формули (3) і (4) значення фізичних величин.
,
.
Тепер розрахуємо та :
Відповідь: ; ; ; .
Приклад 8. В коливальному контурі, індуктивність якого L = 0,01 Гн, заряд конденсатора зменшується в десять разів за час, рівний періоду коливань Т = 1×10-5 с. Визначити опір контура.
Розв’язання
Дано: L = 0,01 Гн Т = 1×10-5 с |
R ? |
Рівняння згасаючих електромагнітних коливань має вигляд:
,
де – заряд у довільний момент часу t, , b – коефіцієнт згасання, w – циклічна частота згасаючих коливань, a – початкова фаза.
Через період коливань заряд стане рівним
.
Оскільки (зв’язок циклічної частоти з періодом), то , тому маємо
або
.
Коефіцієнт згасання для електромагнітних коливань
,
тому попереднє співвідношення приймає вигляд
або
.
Числовий розрахунок:
.
Відповідь: 4,6 кОм.
Приклад 9. Коливальний контур складається з конденсатора, ємність якого С = 1/3×10-8 Ф, та котушки з індуктивністю Гн. Знайти період вільних коливань у контурі, коефіцієнт згасання та логарифмічний декремент згасання, якщо опір котушки R = 60 Ом.
Розв’язання
Дано: С = 1/3×10-8 Ф L = 12×10-6 Гн R = 60 Ом |
T ? b ? l ? |
Період згасаючих електромагнітних коливань
.
Коефіцієнт згасання
.
Логарифмічний декремент згасання
.
Підставимо значення фізичних величин у виписані формули:
;
;
.
Відповідь: Т = 1,5 мкс; b = 2,5×106 с-1; l = 3,7.
Приклад 10. Плоска електромагнітна хвиля поширюється в однорідному ізотропному середовищі з діелектричною проникністю та магнітною проникністю . Модуль амплітуди напруженості електричного поля хвилі . Визначити: 1) фазову швидкість хвилі; 2) модуль амплітуди напруженості магнітного поля хвилі.
Розв’язання
Дано: |
v ? Hmax ? |
Фазова швидкість електромагнітних хвиль
Модулі напруженостей електричного і магнітного полів хвилі Е та Н пов’язані співвідношенням
де і – електрична та магнітна сталі.
Оскільки рівняння плоскої хвилі (записане через модулі векторів та ) має вигляд
,
де w – циклічна частота, t – час, k – хвильове число, x – відстань від джерела хвилі до точки простору, a – початкова фаза, то маємо аналогічний зв’язок між модулями амплітуд напруженостей:
.
Звідси
.
Числовий розрахунок:
.
; .
Відповідь: ; .
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 840; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!