Интегралы, зависящие от параметра
Стр 1 из 4Следующая ⇒
Химфак-2017. 2-й курс. Вопросы к экзамену IV-го семестра по курсу высшей математике
Вопросы по материалу IV-го семестра
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
1. | Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение, вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения. |
2. | Частные решения неоднородного дифференциального уравнения, получаемые методом вариации произвольных постоянных. |
3. | Частные решения неоднородного дифференциального уравнения со специальной правой частью, получаемые методом неопределенных коэффициентов. |
4. | Нормальные системы дифференциальных уравнений: основные понятия и определения. Метод исключения для решения НСДУ с постоянными коэффициентами |
Линейные пространства и линейные операторы
5. | Определение абстрактного векторного пространства. Основные понятия: линейная зависимость, независимость векторов, базис, размерность пространства, разложение вектора по базису, координаты вектора. |
6. | Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат векторов при переходе к новому базису. |
7. | Линейное подпространство. Линейная оболочка векторов. |
8. | Линейный оператор и его матрица. Сумма и разность операторов и их матрица. Тождественный оператор. |
9. | Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису. |
10. | Образ и ядро, ранг, дефект линейного оператора. Пример: оператор проектирования. |
11. | Обратный оператор, его матрица. Теорема о необходимых и достаточных условиях невырожденности оператора. |
12. | Аксиомы скалярного произведения в векторном пространстве. Гильбертово пространство. Система ортогональных векторов. Теорема о линейной независимости ортогональной системы. |
13. | Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. |
14. | Приведение к диагональному виду матрицы линейного оператора с простым спектром. |
15. | Определение нормы вектора.Нормированное пространство. Унитарное пространство. Норма в гильбертовом пространстве. |
16. | Эрмитовы матрицы. Сопряженный оператор, его матрица. Самосопряженный оператор, его матрица.Свойства собственных чисел и векторов самосопряженного оператора. |
17. | Свойства собственных чисел и векторов самосопряженного оператора. |
18. | Унитарные, ортогональные и эрмитовы операторы и их матрицы. |
19. | Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональной форме. |
|
|
Ряды
20. | Понятие числовой последовательности и числового ряда Общий член ряда. Способы задания числовой последовательности и ряда. Частичная сумма ряда. Остаток ряда. Сходимость ряда. Сумма ряда. |
21. | Классификация числовых рядов: знакопостоянные, знакопеременные и знакочередующиеся ряды. |
22. | Необходимое условие сходимости. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Действия над числовыми рядами. |
23. | Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признаки сравнения и эквивалентности, признак Даламбера и радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. Сходимость обобщенных гармонических рядов. |
24. | Знакопеременные ряды. Признак Лейбница условной сходимости. Формулировка признаков Абеля и Дирихле. Теорема Абеля о сумме условно сходящегося ряда. |
25. | Функциональная последовательность и способы ее задания. Определение функционального ряда. Поточечная сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Сумма функционального ряда. |
26. | Признаки равномерной сходимости функциональных рядов: признак Вейерштрасса (с док-вом). |
27. | Теорема о свойствах равномерно сходящихся функциональных рядов (без док-ва). |
28. | Степенные ряды. Лемма Абеля. Теорема Абеля о радиусе сходимости степенного ряда. |
29. | Формулы Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда. |
30. | Теоремы о вычислении радиуса сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. |
31. | Теорема о ряде Тейлора. Основные разложения в ряд Тейлора. |
32. | Применение степенных рядов для приближенных вычислений значений функций, вычислений пределов, определенных интегралов, решения дифференциальных уравнений. |
33. | Определение скалярного произведения функций, ортогональности и нормы. Ортонормированные системы функций: {sinnx},{cosnx}: |
34. | Тригонометрические многочлены и ряды. Ряд Фурье функции на интервале [-p;p] и ее периодическое продолжение. Теорема о единственности коэффициентов ряда Фурье для произвольной функции на интервале [-p;p]. |
35. | Коэффициенты ряда Фурье для четной и нечетной функции на интервале [-p;p]. |
36. | Теоремы о поточечной, равномерной сходимости ряда Фурье. |
37. | Понятие о сходимости в среднем. |
38. | Разложение в ряд Фурье на интервале [-l;l] и на произвольном интервале [-a;b]. |
39. | Интеграл Фурье как предельный случай рядов Фурье. |
40. | Комплексная форма интеграла Фурье. |
41. | Формулы преобразования Фурье и обращения преобразования Фурье. |
|
|
|
|
Интегралы, зависящие от параметра
|
|
42. | Определение собственного интеграла, зависящего от параметра. Свойства собственных интегралов, зависящих от параметра. |
43. | Определение несобственного интеграла, зависящего от параметра. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса (с док-вом). |
44. | Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов. |
45. | Определение гамма- и бета-функции Эйлера. |
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 428; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!