Скорость и ускорения движущейся точки при векторном способе задания ее движения
Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение.
Скоростью точки называются вектор, определяющий быстроту и направления ее движения в каждый момент времени.
.
Вектор скорости точки равна первой производной от ее радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.
Размерность скорости или .
Ускорением точки называют вектор. Характеризующий быстроту изменения величины и направления скорости точки.
.
Вектор ускорения точки равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора точки по времени.
Размерность ускорения – [м/с2].
В общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и его можно расположить на нормальную и касательную составляющие ; направлено по нормали к траектории точки в сторону вогнутости. и направлено по касательной к траектории точки.
Положение точки на плоскости определяется ее радиусом-вектором . Определить модуль ускорения точки в момент времени t1=2c.
; ;
, т.к. вектора и перпендикулярны между собой, то их сумму найдем по теореме Пифагора.
; м/с2.
Ответ: м/с2.
1.3. Скорость и ускорение точки при
координатном способе задания ее движения
Вектор скорости точки . Отсюда
|
|
; ;
Проекции вектора скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.
Зная проекции вектора скорости, найдем ее величину и направление.
Углы α, β и γ, которые вектор образует с координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно, находятся как углы направляющих косинусов: ; ; ; ,
Аналогично определяем координаты, направляющие косинусы и модуль ускорения:
; ; ;
; ; ; ;
Задача 1
Даны уравнения движения точки: , , где x и y – в см. Определить, в какой момент времени t1 ускорение точки равно 7 см/с2.
Решение
Полное ускорение точки состоит:
Ускорение точки определим через его проекции на оси координат Ох и Оy ; см/с; см/с2
Ускорение ; см/с; см/с2
;
Возведем обе части в квадрат и определим время t1:
; ; ; с.
Ответ: с
1.4. Скорость и ускорение точки при естественном
способе задания движения
Рассмотрим, определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения, т.е. при задании траектории точки и закона движения точки вдоль этой траектории в виде s=f(t) (рис.1.2).
В этом случае значения векторов и определяют по их проекциям на подвижные оси Мτnb оси естественного трехгранника, с началом в движущейся точке М.
|
|
Ось Mτ – направлена по касательной к траектории точки в сторону положительного отсчета координаты s; ось Мп – по главной нормали к траектории точки. Ось Mb – перпендикулярно к первым двум так, чтобы оси образовывали правую систему координат. Mτ – касательная,
Мп – нормальная и Mb – бинормальнаяоси координат.
Величина скорости точки равна первой производной дуговой координаты точки S по времени:
.
Скорость точки v направлена в сторону положительного отсчета s, когда v > 0 при v < 0 в противоположную сторону.
Рис.1.2
Вектор ускорения точки определяется его касательной и нормальной составляющими.
,
Которые равны: ; ,
где – радиус кривизны траектории в точке М.
При вектор совпадает с направлением оси Мτ, а при – в противоположную сторону.
an – всегда положительно направлено по главной нормали.
Задача 1
Задано уравнение движения по криволинейной траектории: Определить полное ускорение точки в момент времени с, если в этот момент радиус кривизны траектории м.
Так как точка движется по криволинейной траектории, то ускорение имеет две составляющие aτ – касательное; an – нормальное и .
Составляющие полного ускорения равны:
|
|
; при t1=3c
м/с;
м/с2=const;
м/с2;
м/с2.
Точка совершает криволинейное равноускоренное движение.
Ответ: м/с2.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 1749; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!