Равномерное движение материальной точки по окружности

При равномерном движении т. М по окружности (рис. 33):

– модуль скорости не изменяется

| ₁| = | ₂| v _t = 0 ;

– направление вектора скорости изменяется

_n = 0 .

Рис. 33

Полное ускорение в этом движении (§ 6, 2а) равно нормальному ускорению (или центростремительному): = _n и направлено перпендикулярно к направлению вектора скорости , по радиусу к центру окружности. При этом движении радиусвектор т. М поворачивается на угол = – ₀ за интервал времени t = t – t₀, а его конец описывает дугу окружности .

При вращении угол поворота изменяется с течением времени, тогда уравнение = (t) – это уравнение вращения. Угол (или ) аналогичен величине линейного пути S при поступательном движении, и его называют углом поворота или угловым путем. Элементарное угловое перемещение – это вектор, направленный вдоль оси по правилу правого винта и численно равный углу (рис. 34). Введем угловые кинематические характеристики: угловую скорость и угловое ускорение при вращении вокруг неподвижной оси (§ 1, рис. 3).

Угловая скорость

Средняя угловая скорость _cp – это физическая величина, равная отношению угла поворота к интервалу времени, за который оно произошло.

. (32)

Единицы угловой скорости в СИ и в системе СГС

Мгновенная угловая скорость _мгн – это физическая величина, равная пределу отношения углового перемещения к интервалу времени, за который оно произошло (при t 0).

. (33)

Угловая скорость – производная от угла поворота по времени.

При равномерном движении по окружности вокруг закрепленной оси, при котором за любые равные промежутки времени радиус-вектор точки поворачивается на одинаковые углы, угловая скорость может рассматриваться как скаляр:

_cpмгн = con st

; . (34)

При равномерном вращении модуль угловой скорости: .

Угловой путь: = w t.

Из формулы (34) следует уравнение равномерного движения материальной точки по окружности:

. (35)

или

Направление вектора определяется по правилу буравчика (или правого винта): направление вращения буравчика, расположенного перпендикулярно плоскости вращения, совпадает с движением т. М по окружности, а его поступательное движение вдоль оси совпадает с направлением угловой скорости (рис. 34).


Рис. 34

Угловое ускорение

Среднее угловое ускорение _cp – это физическая величина, равная отношению изменения вектора угловой скорости к интервалу времени, за который оно произошло.

. (36) Мгновенное угловое ускорение – это физиче-ская величина, равная пределу отношения изменения угловой скорости к интервалу времени, за который оно произошло (при t 0).

; . (37)

Угловое ускорение – производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени:

; .

При равномерном движении по окружности

= 0.

Единица углового ускорения в СИ: [ ] = .

Равномерное движение точки по окружности – это периодическое движение.

Период

Период Т – это время одного полного оборота.

[T] = с.

Частота вращения

Частота вращения v – это физическая величина, обратная периоду, и характеризует число полных оборотов за единицу времени.

(38)

где N – число полных оборотов за единицу времени.

Единица частоты в СИ и в системе СГС – один оборот в секунду:

[v] = или с^–1.

Линейная скорость (мгновенная скорость при движении по окружности):

При t = Т, S = 2 R

, v = 2 Rv. (39)

Угловая скорость (34) при t = Т равна:

Угловой путь при равномерном движении материальной точки по окружности:

Уравнение равномерного движения материальной точки по окружности:

При t = Т, = 2p

, w = 2 v. (40)

Связь линейной и угловой скорости

Из формул (39) и (40) следует, что

. (41)

Связь тангенциального ускорения а_t и углового ускорения

а_t = R. (42)

Примечание. Угловая скорость и угловое ускорение – векторные величины. Направления векторов угловой скорости и углового ускорения перпендикулярны плоскости окружности (рис. 34). Вектор мгновенной скорости материальной точки при движении по окружности связан с вектором угловой скорости по правилу векторного произведения (§ 18.6):

Формула нормального ускорения (вывод)

Рассмотрим равномерное движение по окружности:| ₁| = | ₂| v (рис. 35). Перенесем вектор в точку В и построим вектор – изменение скорости за время t. Треугольники BCD и OAB подобны как равнобедренные с одинаковыми углами при вершинах. Поэтому:

Рис. 35

или .

При t 0 угол между ₁ и ₂ стремится к нулю ( 0), а угол между ₂ и – к прямому. Значит, направление вектора и ( ) приближается к направлению нормали к траектории, т.е. к направлению радиуса. Следовательно, ускорение – нормальное (центростремительное):

, где .

Учитывая, что при t 0 длина хорды АВ приближается к длине дуги S, получим:

,и формула нормального ускорения:

или (41): (43)

Таблица 4

Формулы равномерного движения материальной точки по окружности

2)Внутренняя энергия идеального газа — в идеальных газах внутренняя энергия определяется как сумма кинетических энергий молекул. Между молекулами идеального газа отсутствуют силы притяжения и потенциальная энергиявзаимодействия равна нулю. Это означает, что внутренняя энергия идеального газа рассматривается как сумма всех кинетических энергий молекул.

Если идеальный газ одноатомный, то кинетическая энергия обусловлена только поступательным движением молекулы, и ее средняя кинетическая энергия связана с температурой соотношением:

\(E_0 = \frac 3 2 kT\)

где k — постоянная Больцмана.

Для газа массой m, в котором содержится N молекул, внутреннюю энергию U можно выразить следующим образом:

\(U = E_0 N = \frac 3 2 \frac m M R T \)

R = 8,310 Дж/К*моль — универсальная газовая постоянная, Т — температура.

Следовательно, внутренняя энергия идеального газа однозначно определяется его температурой. Изменение температуры газа приводит к изменению его внутренней энергии.

Для многоатомного идеального газа выражение для внутренней энергии будет зависеть от числа атомов в молекуле. Следует учитывать кинетическую энергию не только поступательного движния молекул, но вращательного движениямолекул, а в некоторых случаях и энергию колебания атомов в молекуле друг относительно друга. Учесть этот вид энергии помогает закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Этот закон можно считать обобщением энергетического определения температуры. Он утверждает, что на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем энергия \(\frac 1 2 kT\)(в расчете на одну молекулу). То есть независимо от числа степеней свободы молекул три степени всегда поступательные и ни одна из них не имеет преимущества перед другими.

Число степеней свободы — число независмых переменных, полностью определяющих положение системы в пространстве.

Газ	Число степеней свободы
	поступательных	вращательных	всего
Одноатомный	3	—	3
Двухатомный	3	2	5
Многоатомный	3	3	6

Поступательному движению соответствуют 3 степени свободы, и поэтому средняя энергия поступательного движения равна \(\frac 3 2 kT\). У двухатомных молекул есть еще 2 степени свободы, отвечающие вращательному движению, поэтому полная кинетическая энергия этих молекул равна \(\frac 5 2 kT\). Что касается колебательного движения атомов, то энерегия этих движений оказывается пренебрежимо малой вплоть до температур 1000–2000 К. Объяснение такому замораживаю определенных движений дает квантовая механика .

Внутренняя энергия идеального газа не зависит от объема и давления. А в реальных газах внутренняя энергия зависит также от объема, потому что учитывается потенциальная энергия взаимодействия молекул.

БИЛЕТ-12

1)Основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение”.

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 1286; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!