Правило Лопиталя: теория и примеры решений
- Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
- Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
- Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"
- Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"
- Раскрытие неопределённостей вида "бесконечность минус бесконечность"
Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей значительно упрощается с помощью правила Лопиталя.
Суть правила Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.
Вообще, под правилами Лопиталя понимаются несколько теорем, которые могут быть переданы в следующей одной формулировке.
Правило Лопиталя. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки 
, за исключением, может быть, самой точки , причём в этой окрестности 
и если
или
то
(1)
Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).
|
|
|
В равенстве (1) величина , к которой стремится переменная, может быть либо конечным числом, либо бесконечностью, либо минус бесконечностью.
К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.
Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
Пример 1. Вычислить
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:
Пример 2. Вычислить
.
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:
Пример 3. Вычислить
.
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:
Пример 4. Вычислить
.
Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:
Замечание. Если предел отношения производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к пределу отношения вторых производных, и т.д.
|
|
|
Пример 5.Вычислить
.
Решение. Находим
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.
Пример 6.Вычислить
.
Решение. Находим
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0.
Пример 7.Вычислить
.
Решение. Находим
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида - ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.
Пример 8.Вычислить
.
Решение. Находим
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1556; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!