Вычислить приближенно самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 7. Вычислить приближенно:
1) ;
2) .
Посмотреть правильное решение и ответ.
Абсолютная и относительная погрешности приближенных вычислений
Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.
Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением:
(12)
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:
(13)
Если точное число неизвестно, то
(14)
Иногда, прежде чем применить формулу (11), требуется предварительно преобразовать исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина была достаточно малой по сравнению с , так как чем меньше , тем точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина вычислялась просто.
Пример 8.Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить точность полученного результата.
Решение. Рассмотрим функцию
Её производная равна
а формула (11) примет вид
В данном случае было бы нерационально вычислять приближенно следующим образом:
так как значение
не является малым по сравнению со значением производной в точке
|
|
Здесь удобно предварительно вынести из под корня некоторое число, например 4/3. Тогда
Теперь, полагая
получим
Умножая на 4/3, находим
Принимая табличное значение корня
за точное число, оценим по формулам (12) и (13) абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:
Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть y сложная функция x: , . Дифференциал этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде . Но есть дифференциал функции u, поэтому , т. е.
.
Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для дифференциала функции независимой переменной x, т. е. , хотя аргумент u является не независимой переменной, а функцией x.
Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.
Задание к примерам. Во всех примерах требуется вычислить дифференциал функции двумя способами: выражая его через dx и через du - дифференциал промежуточной переменной u. Проверить совпадение полученных результатов.
|
|
Потребуется таблица производных некоторых сложных функций.
Пример 1. Дана функция .
Решение.
Через dx:
Использовали правило дифференцирования степенной функции.
Через du:
Подставляя в полученное равенство и , получаем
Результаты совпадают.
Пример 2. Дана функция .
Решение.
Через dx:
Использовали правило дифференцирования сложной функции квадратного корня.
Через du:
.
Подставляя в полученное равенство и , получаем
Результаты совпадают.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение
Пример 3. Дана функция .
Решение.
Через dx:
Использовали правило дифференцирования сложной логарифмической функции.
Через du:
.
Подставляя в полученное равенство и , получаем
Результаты совпадают.
Пример 4. Дана функция .
Решение.
Через dx (в процессе решения для удобства преобразуем корни в степени и обратно):
Использовали общее правило дифференцирования сложной функции два раза.
Через du:
.
Подставляя в полученное равенство и
,
получаем
Результаты совпадают.
|
|
Пример 5. Дана функция .
Решение.
Через dx:
Использовали общее правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования сложной логарифмической функции.
Через du:
.
Подставляя в полученное равенство и , получаем
.
Результаты совпадают.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 378; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!