Производные логарифмов и логарифмическое дифференцирование
- Как находить производные сложных логарифмических функций?
- Что такое логарифмическое дифференцирование?
- Найти производную логарифмической функции самостоятельно, а затем помотреть решение
Как находить производные сложных логарифмических функций?
Что можно сказать о производной логарифмической функции y = lnx на основании таблицы производных? Можно сказать, что она существует и выражается формулой
(1)
Однако в большинстве задач математического анализа, с которыми придётся столкнуться в дальнейшем, присутствует сложная логарифмическая функция. Она вычисляется несколько иначе.
В случае сложной логарифмической функции y = lnu, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (1) примет вид
(2)
Пользуясь формулой (2), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть
На основании свойств логарифмов имеем
Так как 
- постоянный множитель, то 
или
(3)
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Применяя правило дифференцирования дроби (частного), а затем формулу (3), получим
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Используя свойства логарифмов, данную функцию можно записать проще:
Это сложная логарифмическая функция. Применяя правило о том, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, а затем формулу (2) при
получаем
Что такое логарифмическое дифференцирование?
|
|
|
Если функция дана в виде
,
то перед тем, как находить её производную, часто бывает выгодно прологарифмировать эту функцию.
Это прежде всего случаи, когда требуется найти производную произведения или частного функций, а также степенной функции, когда основание и степень - функции.
На основании свойств сложных функций доказано, что производная функции, вид которой приведён выше, может быть найдена по формуле
.
Пример 3. Найти производную функции
.
Решение. Логарифмируем обе части равенства и находим:
Решение. Окончательно находим производную данной функции:
Пример 4. Найти производную функции
.
Решение. Логарифмируем обе части равенства:
Дифференцируем:
Выражаем и находим производную данной функции:
Дифференциал
- Понятие и геометрический смысл дифференциала
- О разных формах записи дифференциала
- Свойства дифференциала
- Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- Абсолютная и относительная погрешности приближенных вычислений
Понятие и геометрический смысл дифференциала
Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).
|
|
|
Это записывается так:
или
или же
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину 
(см. рисунок).
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 380; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!