Анализ полученных результатов



Анализ устойчивости решения

После того как оптимальное решение найдено, проводится его экономико-математический анализ. Одним из его наиболее важных элементов является изучение того, как влияют на решение изменения различных параметров модели. Такое исследование называется анализом устойчивости решения. Оно позволяет выяснить, насколько решение модели чувствительно к изменению внешних условий, а также определить область изменения параметров, в которой оно остается прежним.

Отчет по устойчивости содержит основную информацию для анализа устойчивости решения. Он состоит из двух таблиц (рисунок 9).

Первая таблица Изменяемые ячейки содержит сведения о чувствительности оптимального решения и оптимального значения целевой функции к малым изменениям ее коэффициентов.

Результ. значение – оптимальные значения переменных (объемы выпуска).

Нормир. стоимость – двойственные оценки переменных, которые показывают, насколько изменится оптимальное значение целевой функции, если принудительно включить единицу изделия этого вида в оптимальный план. Эта оценка отлична от нуля лишь для изделий, не вошедших в оптимальный план. Так, оценка изделия 3 равна -1,5. Это означает, что если установить фирме обязательное задание по выпуску единицы этого изделия, т.е. заменить условие х3 ≥ 0 на х3 ≥ 1, то оптимальное значение прибыли уменьшится на 1,5 и составит 2118,5.

Целевой Коэффициент – коэффициенты целевой функции (удельная прибыль изделия).

Допустимое Увеличение (Уменьшение) – насколько можно увеличить (уменьшить) соответствующий коэффициент целевой функции (удельную прибыль изделия), чтобы оптимальное решение не изменилось.

Таким образом, при изменении первого коэффициента целевой функции (удельной прибыли изделия 1) в интервале I1 = (22,86; 26,15) решение остается прежним. Поэтому этот интервал называют интервалом устойчивости решения. Если же значение удельной прибыли выйдет за его пределы, то это приведет к изменению оптимального плана (см. ниже таблицу 2). Интервалы устойчивости для остальных коэффициентов целевой функции таковы:

I2 = (39,06; 43,75) и I3 = (-∞; 31,5).

Рисунок 9. Отчет по устойчивости

Во второй таблице Ограничения находится информация об оптимальных оценках ограничений. Ее столбцы содержат следующие сведения:

Результат. значение – значение левой части ограничения (затраты ресурсов) в оптимальном плане.

Теневая Цена – двойственные оценки ограничений (ресурсов), показывающие насколько изменится оптимальное значение целевой функции, если увеличить на единицу правую часть ограничения (наличный объем ресурса).

Таким образом, ресурсы имеют следующие оценки: сырье – 0, оборудование – 4 и труд – 1,5. Это означает, что дополнительная единица сырья не приведет к увеличению прибыли фирмы, дополнительная единица оборудования позволит фирме увеличить свою прибыль на 4 единицы, а труда – на 1,5 единицы.

Ограничение Правая часть – значение правых частей ограничений (наличные объемы ресурсов).

Допустимое Увеличение (Уменьшение) – насколько можно увеличить (уменьшить) правую часть соответсвующего ограничения, чтобы не изменилась его двойственная оценка (теневая цена).

Информация, содержащаяся в последних трех столбцах, позволяет найти интервалы устойчивости оценок, в пределах которых их значения не изменяются. Левая граница интервала вычисляется по формуле

Ограничение Правая часть – Допустимое Уменьшение,

а правая граница – по формуле

Ограничение Правая часть + Допустимое Увеличение.

Таким образом, интервал устойчивости оценки сырья имеет вид J1 = (388; +∞). В нем оценка равна 0, так как этот ресурс избыточен. Интервал устойчивости оценки оборудования J2 = (320; 420). В его пределах каждая дополнительная единица оборудования позволяет фирме увеличить прибыль на 4 единицы. Соответственно, интервал устойчивости оценки труда J3 = (400; 490,9).

Параметрический анализ решения

Анализ устойчивости может быть дополнен параметрическим анализом, целью которого является изучение свойств решения как функции тех или иных параметров модели.

Зависимость решения от удельной прибыли изделия. Для начала следует определить зависимость между удельной прибылью с1 изделия 1 и оптимальным планом выпуска. Для этого достаточно выполнить несколько расчетов по модели при различных значениях параметра с1, сохраняя отчеты по устойчивости.

Сначала необходимо провести расчет по модели, считая удельную прибыль изделия равной 0. Для этого достаточно внести в ячейку В8 число 0, а затем вызвать окно Поиск решений и нажать кнопку Выполнить, ППР найдет оптимальное решение, соответствующее этому значению параметра. Нужная информация содержится в отчете по устойчивости (рисунок 10).

Ее анализ показывает, что в этом случае будет выпускаться только изделие 2 и оптимальное решение не изменится до тех пор, пока удельная прибыль изделия 1 будет ниже 22,86. Поэтому новый расчет следует выполнить при значении удельной прибыли с1, большем этой величины, например равном 23. Его результат приведен ниже (рисунок 11).

Рисунок 10. Фрагмент отчета по устойчивости при с1 = 0

Рисунок 11. Фрагемент отчета по устойчивости при с1 = 23

Процедура определения интервала устойчивости будет повторяться до тех пор, пока не будет исчерпана вся область значений параметра с1. Итоговые результаты расчетов представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Интервалы устойчивости оптимального плана

с1 (-∞; 22,86) (22,86; 26,15) (26,15; 36) (36; +∞)
х1 0 56 70,625 80
х2 50 18 0 0
х3 0 0 11,25 0

 

В ее первой строке приведены интервалы значений параметра с1 (удельной прибыли изделия 1), при которых оптимальный план не изменяется. Остальные строки содержат оптимальные объемы выпуска изделий. Таким образом, при значениях с1, меньших 22,86, фирме следует выпускать только изделие 2 (50 единиц). При увеличении с1 становится все более выгодным выпуск изделия 1. В оптимальный план оно входит во все большем количестве (сначала - 50,6 единицы, а затем – 70,6 единицы).

Сначала совместно с ним выпускаются и другие изделия, но при значении с1, большем 36, фирма должна выпускать только изделие 1 (80 единиц). Выпуск изделия 2 с ростом с1 все уменьшается, а выпуск изделия 3 входит в оптимальный план лишь при 26,15 < с1< 36.

Особыми значениями параметра с1 являются концы интервалов устойчивости: точки 22,86; 26,15 и 36. В них решение задачи фирмы определенно неоднозначно. Например, ее решениями при с1 = 22,86 являются как планы х1 = (0; 50; 0) и х2 = (56; 18; 0), так и любой план выпуска х*, являющийся их выпуклой комбинацией, т.е. представимый в виде х* = t х1 + (1-t) x2, где 0 <t<1. Всем этим планам соответсвует одно и то же значение прибыли, равное 2000 руб. Поэтому ЛПР может выбрать любой из них, привлекая, если это необходимо, для определения конкретного плана дополнительные соображения, не нашедшие отражения в модели.

Использую данные таблицы 2 можно определить аналитическую зависимость между оптимальным объемом прибыли F* и удельной прибылью с1. Она представлена в таблице 3:

Таблица 3 – Зависимость прибыли фирмы от удельной прибыли изделия 1

с1 (-∞; 22,86) (22,86; 26,15) (26,15; 36) (36; +∞)
F*(с1 ) 2000 56с1 + 720 70,625с1 + 33,75 80с1

 

Действиетельно, в первом интервале устойчивости (-∞; 22,86) оптимальный план не изменяется и равен х1 = (0; 50; 0). Поэтому внутри этого интервала F*( с1 ) = с1 ∙ 0 + 40 ∙ 50 + 30 ∙ 0 = 2000. Внутри второго интервала оптимальный план равен х2 = (46; 18; 0). Значит, F*( с1 ) = с1 ∙ 56 + 40 ∙ 18 + 30 ∙ 0 = 56с1 + 720 и т.д.

Построение функции предельной эффективности ресурса. С помощью отчета об устойчивости можно найти зависимость между наличным объемом какого-либо ресурса и его оптимальнойоценкой. Такая зависимость называется функцией предельной эффективности ресурса.

Для построения функции предельной эффективности сырья необходимо сначала определить интервал устойчивости оценки по сырью, соответствующий объему этого ресурса b1, равному 1 (кг). Для этого следует ввести в ячейку F5 число 1, найти решение и сохранить отчет по устойчивости. В нем содержится необходимая информация: оценка (теневая цена) ограничения по сырью (7,5), значение правой части ограничения (1), а также допустимые увеличение (232,33) и уменьшение (1) этого значения (рисунок 12). Таким образом, первый интервал устойчивости равенм(0; 233,33). В его пределах оценка по сырью сохраняет постоянное значение, равное 7,5.

Рисунок 12. Фрагмент отчета по устойчивости при b1 = 1

Для получения нового интервала устойчивости необходимо ввести новое значение правой части сырьевого ограничения. Им должно быть число, большее правой границы предыдущего интервала устойчивости. В качестве такого числа можно взять 234 (F5 = 234) и снова решить задачу. Новая оценка сырья равна 3,75, допустимое увеличение – 66, а допустимое уменьшение – 0,67 (рисунок 13). Следовательно, интервал устойчивости этой оценки – (233,33; 300).

Рисунок 13. Фрагмент отчета по устойчивости при b1 = 234

Процедуру следует повторить, пока оценка сырья не станет равной нулю. Результаты приведены в таблице 4.

Таблица 4 – Интервалы устойчивости оценки сырья

Оценка сырья, U 7,5 3,75 1,36 0
Объем сырья, b1 (0; 233,33) (233,33; 300) (300; 388) (388; +∞)

 

Определение зависимости прибыли от объема ресурса. Для построения функции, описывающей зависимость величины прибыли от наличного объема сырья, следует использовать известный факт теории линейного программирования: если при увеличении на единицу правой части ограничения его новое значение не выходит за пределы интервала устойчивости оценки этого ограничения, то оптимальное значение целевой функции прирастает на величину, равную значению оценки. Искомая функция прибыли F*( b1 ), где b1 – объем сырья, представлена в таблице 5.

Таблица 5 – Зависимость прибыли от объема сырья

b1 (0; 233,33) (233,33; 300) (300; 388) (388; +∞)
F*( b1 ) 7,5b1 1750 + 3,75b1 2000 + 1,36b1 2120

 

Итак, информация, содержащаяся в отчете по устойчивости, позволяет проводить параметрический анализ решений задачи ЛП в том случае, когда параметрами являются коэффициенты целевой функции и элементы вектора правых частей.

 

 

Задачи по теории оптимизации

Производственная задача.На предприятии образовалось 150 м3 свободных остатков пиломатериалов и 1600 м2 листового стекла. Неиспользованные материальные ресурсы можно использовать в цехе товаров бытового назначения для производства сервантов, книжных полок и зеркал (маркетологи подтвердили возможность сбыта этих товаров по следующим ценам: сервант – 91 усл. ед., книжная полка – 14,5, зеркало – 11 усл. ед.). Себестоимость производства одного серванта составляет 80 усл. ед., книжной полки – 12, зеркала – 8,9 усл. ед. Нормы расходма материалов представлены в таблице.

Нормы расхода материалов на производство единицы каждого вида продукции

Наименование продукции Пиломатериалы (в м3) Стекло (в м2)
Сервант Книжная полка Зеркало 0,25 0,05 0,025 2,0 0,5 0,4

 

Сформируйте план производства товаров бытового назначения, обеспечивающий получение максимальной прибыли.

Вопросы для обсуждения:

1. Надо ли при разработке плана стремиться к полному использованию имеющихся ресурсов (пиломатериалов и стекла)?

2. Имеет ли смысл производить комплекты мебели (один сервант, две книжные полки и одно зеркало), если цена комплекта на 10% выше суммы цен отдельных предметов?

3. Выгодно ли продать все пиломатериалы по 8 усл. ед. за 1 м3? А не все 150 м3?

4. Как будут меняться оценки ресурсов (внутренние, «теневые» цены ресурсов) при добавлении новых ограничений или видов продукции? (Введите ограничение: не менее 100 книжных полок).

Выбор варианта.Вы заключили договоро долговременном обслуживании. Ваша аналитическая группа подготовила 6 возможных вариантов запуска различныхпроизводственных линий для удовлетворения заданной в договоре потребности в размере 1200 единиц. Каждый вариант характеризуется показателями использования конкретных ресурсов и его вкладом в удовлеворение потребности (соответствующие данные представлены в таблице в усл. ед.).

Характеристика вариантов

Номер варианта

Использование ресурсов

Вклад варианта

Эксплуатац. затраты

Сырье Оборудование Труд
1 2 3 4 5 6 45 25 40 56 65 46 34 43 54 44 75 65 46 34 75 68 80 85 340 250 230 270 480 350 250 200 280 300 350 310

 

Примите решение о вводе в действие производственной линии для выполнения договорных обязательств. Наличие ресурсов: сырье – 240 единиц, оборудование – 200, труд – 250 единиц.

 

 

Материал основан на учебном пособии:

Бабенко Т.И., Барабаш С.Б. Методы принятия управленческих решений (в среде Excel): учеб. пособие для вузов. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2006.

 

 


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 499;