РАЗДЕЛ 2. ПРИНЯТИЕ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ: ОПТИМИЗАЦИОННЫЙ ПОДХОД



Тема 4. Основные понятия теории оптимизации

 

        Принимая решения в конкретной ситуации, менеджер обычно сталкивается с необходимостью выбора одной из нескольких альтернатив. Как правило, он стремится к тому, чтобы принятое им решение было оптимальным, т.е. наилучшим с точки зрение поставленной цели. Типичными примерами таких ситуаций являются следующие задачи, часто встречающиеся в экономической практике:

· определить план выпуска продукции фирмы, дающий максимальную прибыль;

· найти распределение инвестиций между объектами, дающее максимальный эффект;

· составить план перевозок груза, обеспечивающий требуемые объемы поставок потребителям с минимальными затратами на перевозки.

Каждая из альтернатив характеризуется набором значений различных показателей-параметров (объемы выпуска, размеры инвестиций, план перевозок), причем эти значения должны удовлетворять определенным условиям (ограничениям). Так, план выпуска должен быть обеспечен необходимыми ресурсами; суммарные размеры инвестиций не должны превосходить размеров общей суммы, выделенной на эти цели; поставка груза потребителю должна равняться его заявке и т.д.

Для анализа возможных альтернатив ЛПР использует целевую функцию, которая дает числовую оценку каждого варианта. Она позволяет ему сравнить две любые альтернативы и выяснить, какая из них является более предпочтительной. Таким образом, целевая функция является критерием оптимальности принимаемых решений. В качестве целевой функции обычно используется экономический показатель типа прибыли, выручки, эффективности или затрат, стоимости. Оптимальной считается альтернатива, на которой значение этого показателя достигает максимума (прибыль, выручка, эффективность) или минимума (затраты, стоимость). Оба эти понятия – максимум и минимум – объединяются единым термином экстремум.

Для принятия решения применяются различные модели. Наиболее хорошо изученными являются математические модели принятия решений в условиях определенности, когда вся информация об экономической ситуации (множество имеющихся альтернатив и целевая функция) считается полностью известной. Математические модели таких задач называются оптимизационными задачами или задачами скалярной оптимизации. Их также называют задачами математического программирования или экстремальными задачами.

Создание оптимизационной задачи состоит из следующих этапов.

1. Определение переменных. Для построения оптимизационной задачи нужно описать ее переменные, т.е. указать величины, которые являются искомыми параметрами альтернатив. Каждая такая величина обозначается в виде переменной с индексом: х1, х2 и т.д., а весь набор переменных (альтернатива) – в виде вектора х=(х1,…,хn), где – общее число переменных. В качестве переменных могут выступать планы выпуска продукции, размеры инвестиций, объемы перевозок и другие показатели.

2.Определение ограничений. После описания переменных задачи необходимо узнать, какие значения они могут принимать. Множество допустимых значений переменных задается в виде одного или нескольких ограничений на их значения, которые записываются в виде соотношений типа равенств или неравенств:

gi(x1,…,xn) ≤ {≥,=} bi, i= .

    В левой части ограничения стоит некоторая функция n переменных gi, а в правой части – величина bi.Обозначение i= означает, что индекс iможет принимать любое значение между 1 и m, где m – общее число ограничений. В таком виде записываются условия общего типа, связывающие значения группы переменных. Они могут описывать условия ограниченности используемых ресурсов, балансовые соотношения и т.п.

    Часть ограничений обычно составляют граничные условия на значения отдельных переменных. Они имеют вид xj ≥ dj или xj≤ dj, где величина djзадает соответсвенно нижнюю или верхнюю границу значений переменной xj. Наиболее распространенные условия этого типа – условия неотрицательности переменных: x1 ≥ 0, … ,xn ≥ 0.

3.Задание целевой функции. С ее помощью можно сравнить между собой различные альтернативы и определить, какая из них лучше. Если решается задача максимизации целевой функцииF и сравниваются две альтернативы х=(х1,…,хn) и y=(y1,…,yn), то считается, что x лучше y, если F(x) >F(y).Иными словами, лучшей считается та альтернатива, на которой целевая функция Fпринимает большее значение. Если же решается задача минимизации целевой функции F, то, наоборот, x лучше y, если F(x) <F(y). В том случае, когда F(x) = F(y), т.е. целевая функция имеет на сравниваемых альтернативах одинаковое значение, альтернативы xи y считаются равноценными.

Общая задача оптимизации обычно записывается в таком виде:

.

Здесь х=(х1,…,хn) Rn – n-мерный вектор переменных[1]; F(x) – целевая функция; gi(x) (i= ) – функции, задающие левую часть ограничений общего вида; bi – компоненты вектора правой части ограничений общего вида; - фиксированное множество в n-мерном векторном пространстве Rn, задающее дополнительные условия на область изменения переменных.Обычно  где  - соответсвенно векторы верхних и нижних границ на переменные.

Вектор х=(х1,…,хn) называется допустимым решением или планом задачи оптимизации, если он удовлетворяет всем ее ограничениям. Допустимое решение называется оптимальным решением или оптимальным планом, если оно является наилучшим, т.е. доставляет оптимум (максимум или минимум) целевой функции Fна множестве всех допустимых решений, которое можно обозначить как X.

В зависимости от характера функций и условий, накладываемых на переменные, приведенная выше задача может относиться к одному из трех основных типов задач оптимизации: линейного программирования (ЛП), целочисленного программирования (ЦП) и нелинейного программирования (НП).


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 180;