П3.3 Пример исследования моделей
Анализ описанных выше моделей (1) и (2) выполняется при допущении, что все параметры и коэффициенты положительны (некоторые в частных случаях принимаются равными нулю) и не зависят от времени. Исследование систем уравнений начинаем с определения точек стационарных состояний, их типа и устойчивости. Модель (1) в общем случае имеет три особые точки, координаты которых определяются формулами:
(3)
(4)
(5)
В частном случае, при 
, в системе могут быть две особые точки. Тип и устойчивость точек определяется, как обычно, характеристическим уравнением для линеаризованной в окрестности этих точек системы.
Система (1) диссипативна при условии:
,
которое выполняется всегда при положительных а и с. Следовательно, имеется предположение о возможности существования гетероклинических контуров, определяющих вид траекторий в фазовом пространстве.
Уравнения (1) и (2) исследовались численно методом Рунге-Кутта с переменным шагом и точностью 
.
Зафиксируем константы модели (1), как указано в табл.1. Рассматривая коэффициенты d, e, f, k, l, m, n в качестве бифуркационных параметров, можем обнаружить все основные виды решений, характерных для трехмерных автономных нелинейных систем: стационарное состояние, предельный цикл, хаотический аттрактор и другие типы циклов различной периодичности. Например, на рис.2 и 3 представлены хаотический аттрактор, а также циклы типа 
и 
(в терминологии, принятой в работе [4]).
|
|
|
Таблица 1
Параметры модели макросистемы 
| a | b | c | d | e | f | g |
| 0.2 | 2.5 | 0.3 | 1.535 | |||
| k | l | m | n | X | Y | Z |
а
б
| 
в
|
Рис.2. Проекции хаотического аттрактора (параметры соответствуют табл.1)
в координатах: а – z(y); б – x(z)
| 
|
а б
Рис.3. Циклы типа 
и 
при d = 2, e = 0.5, k = m = 0.5, l = n = 1
(остальные параметры как в табл.1): а – f = 21; б – f = 10
Предположение о возможности существования гетероклинического контура косвенно подтверждается видом аттрактора (рис.4), полученного в системе (1) с параметрами, заданными в табл.2. На рис.4, б приведена зависимость z(t), которая свидетельствует о существовании так называемых контрастных структур и пограничного слоя [5] в решениях модели. Эти особенности являются неслучайными, так как при заданных в табл.2 параметрах система стремится к сингулярно возмущенной задаче, что и является, по-видимому, источником подобных эффектов. Зависимость z(t) весьма напоминает при этом некоторую стратегию управления запасами, что придает модели (1) практическую привлекательность.
Таблица 2
Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 35; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!