Обработка и оформление результатов

Полученные результаты записывают в таблицу 8.1 и рассчитывают степень набухания a.

Таблица 8.1

 

Время t от начала набухания, мин

масса m, мг

масса поглощенной воды m – m 0, мг

Степень набухания a

Скорость набухания d a /d t, мин-1

 

Для определения кинетических параметров набухания следует экспериментальные данные представить в виде зависимости степени набухания от времени. Для этого, по экспериментальным данным наносят точки в координа

тах t (горизонтальная ось) и a (вертикальная ось). Через них проводят гладкую кривую. Скорость набухания d a /d t в данный момент времени t равна коэффициенту наклона касательной, проведенной к кинетической кривой при этом времени. Для определения зависимости d a /d t от времени, к кинетической кривой проводят касательные при нескольких значениях времени (произвольных). В большинстве случаев достаточно 4 или 5 касательных, как показано на рис. 8.2. Далее находят угловые коэффициенты (см. приложение 2, формула П2.1 и объяснение к ней).

Для определения кинетических параметров уравнения (8.2), его приводят к виду:

, (8.3)

из которого видно, что максимальная степень набухания a _max и константа скорости набухания k _H могут быть найдены из линейного графика зависимости a от d a /d t. Поэтому строят график этой зависимости. Величину a _max находят из отрезка, отсекаемого графиком по вертикальной оси, а k _H получают из произведения a _max× k _Н, которое находят из отрезка, отсекаемого графиком на горизонтальной оси (при условии, в начале координат d a /d t = 0 и a = 0). (См. рис. 8.3). Для построения графика следует составить отдельную таблицу величин a по графику (они не обязательно равны измеренным a) и соответствующих величин d a /d t.

 

Контрольные вопросы

1. Набухание ВМС, степень набухания

2. Ограниченное и неограниченное набухание

3. Назовите факторы, влияющие на характер набухания ВМС

4. Стадии процесса набухания

5. Опишите зависимость скорости ограниченного набухания от времени (см. рис. 8.2)

6. Перечислите факторы, влияющие на кинетику процесса

 

Литература

 

Балакирев А.А., Бабак В.Г., Дехтяренко Н.Г., Иванова И.А., Монисова Р.А. Коллоидная химия. Лабораторный практикум. Часть 2. М: ВЗИПП 1986, Лаб. работа 11.

Зимон А.Д. Коллоидная химия. М: Агар, 2007.

Воюцкий С.С. Курс коллоидной химии. М: Химия, 1975, Глава 14.

 

 

Приложение 1

 

Правила представления результатов измерений и вычислений

Результаты измерений и вычислений выражаются числами. Обычная проблема, с которой сталкиваются студенты – сколько цифр должно быть указано в числе и где следует поместить разделительную запятую или точку. В отношении этого в точных науках существуют общеприня­тые правила, которым необходимо следовать. Эти правила основываются на том, что любые из­мерения имеют естественные погрешности, и эти погрешности распространяются на результаты вычислений, когда результаты измерений используются в математических формулах.

Одно из самых простых правил касается количества значащих цифр в числе. Значащими цифрами называют все запи­санные цифры числа, за исключением нулей, показывающих положение первой ненулевой цифры после разделительной запятой. Например, число 14 см записано с двумя значащими циф­рами, число 140 мм – с тремя, число 1.4×10² мм – с двумя, число 1.40×10² мм – с тремя, число 0.14 м – с двумя, число 0.00014 км – с двумя, число 1.400×10^–4 км – с четырьмя.

Упомянутое выше правило формулируется так. Число значащих цифр в записи числа должно быть равно числу достоверных цифр плюс одна недостоверная. Ка­кие цифры являются достоверными и какие нет зависит от происхождения числа. Наиболее про­сто этот вопрос решается, когда число является непосредственным результатом измерения или результатом округления. Пусть, например, мы измеряем длину прямоугольного куска ткани с по­мощью швейного "сантиметра" или рулетки с ценой деления 1 мм. Если один обрез куска поме­щён у нуля, а другой оказался между 140 мм и 141 мм, но ближе к 140 мм, мы должны запи­сать 140 мм. Здесь цифры 1 и 4 являются достоверными, а цифра 0 – недостоверной, причём её недостоверность составляет 1 мм в соответствии с ценой деления измерительного инструмента. Разумеется, при хорошем зрении можно оценить, находится ли обрез ткани ближе к метке 140 мм или к середине между метками 140 и 141 мм, то есть к 140.5 мм. Однако следует иметь в виду, что существует дополнительная неопределённость, по крайней мере 0.5 мм, в расположении об­реза ткани около нуля инструмента. В экспериментальных науках принято, что недостоверность однократного (то есть проведённого один раз) измерения равна цене деления измерительного прибора, если в характеристиках прибора не указано иначе·.

Иногда показания прибора провоцируют запись меньшего числа цифр, чем число досто­верных цифр. Например, если на индикаторе цифро-показывающих весов изображён результат взвешивания 1.000 г, то иногда записывают результат 1 г, имея в виду 1 г точно. В принципе, это не правильно, потому что вводит в заблуждение относительно точности взятой навески: сама по себе (без допонительных пояснений) это запись может быть воспринята как указывающая на то, что истинный результат взвешивания находится где-то между 0.5 и 1.5 г. Поэтому в отчётах о лабораторных измерениях следует соблюдать правило значащих цифр – должны быть записаны все достоверные цифры плюс одна недостоверная цифра.

Вопрос о количестве достоверных цифр, которые показывает калькулятор при вычисле­ниях, является более сложным. Пусть, например, измеренная длина прямоугольника составляет 140 мм, а измеренная ширина – 102 мм. Нас интересует площадь. Результат умножения 140 ´ 102 может быть представлен на индикаторе калькулятора как 14280.00000. Разумеется, не все цифры в этом представлении являются достоверными. Приблизительное правило, которое сле­дует использовать в данном случае, заключается в том, что относительная погрешность вычис­ленного произведения равна сумме относительных погрешностей множителей. Если относитель­ные погрешности измерений длины и ширины составляют 1/140» 0.007 и 1/102» 0.009, сумма составляет 0.016. Тогда недостоверность вычисления площади равна 14280 ´ 0.016» 228 мм², то есть недостоверными являются все цифры, начиная с третьей перед запятой. Поэтому результат вычисления на калькуляторе 14280.00000 следует выписать как 1.43×10⁴ мм², или 143 см², или 1.43 дм². (Но не 14300 мм², потому что в этом числе имеются три недостоверные цифры – тройка и два нуля). Всё это имеет смысл в применении к окончательным результатам вычислений. Если результат вычисления является промежуточным и предназначен для использования в другой фор­муле, то разумно оставить его в памяти калькулятора и затем использовать со всеми недостовер­ными цифрами, то есть в том виде, как он представлен калькулятором.

В других случаях, для оценки числа достоверных цифр в результате вычислений также приходится вычислять абсолютные или относительные погрешности. Пусть требуется вычислить величину y, которая является функцией результатов измерений x ₁, x ₂, … x_n: y = ¦(x ₁, x ₂, … x_n). В общем случае абсолютная погрешность D y и относительная погрешность d y связаны с абсолют­ными погрешностями D x ₁, D x ₂, …D x_n:

и (П1.1)

При оценке числа достоверных цифр при вычислениях любой из этих функций следует сначала вычислить величину y с высокой точностью, затем вычислить абсолютную погрешность или, если это проще, произведение | y |d y, и округлить вычисленное значение y так, чтобы последняя значащая цифра y отвечала первой значащей цифре абсолютной погрешности.

Поскольку мы не всегда готовы тратить время на подобные вычисления, то часто исполь­зуются более простые, но соответственно менее надёжные правила.

Для действий умножения и деления можно использовать правило наименьшего числа зна­чащих цифр: число значащих цифр произведения или частного должно быть равно наименьшему числу значащих цифр из всех чисел, которыми оперируют при вы­числении.

Для действий сложения и вычитания следует использовать другое правило: результат сложения или вычитания следует округлить до такого числа цифр после разде­лительной запятой, которое является минимальным среди складываемых или вычитаемых чисел.

Эти правила не следует применять слишком формально, поскольку они могут вести к за­вышению или занижению числа достоверных цифр. В частности, если среди чисел, над кото­рыми производятся действия, имеются целые, то их число значащих цифр не должно учитываться. Например, при вычислении диаметр = 2 ´ радиус, число значащих цифр результата должно отвечать числу значащих цифр величины радиуса, но не числу значащих цифр коэффициента 2.

Другое полезное правило состоит в том, что если среди чисел, с которыми производятся действия, имеются такие, что известны с много большей точностью, чем остальные, то эти числа можно округлять до такого числа значащих цифр (при умножении или делении) или такого числа цифр после разделительной запятой (при сложении или вычитании), которое на 2 или 1 больше соответствующих характеристик любого из остальных, менее точных сомножителей или слагаемых. Кроме того, число достоверных цифр в таких более точных числах можно не прини­мать во внимание при оценке числа достоверных цифр результата вычисления. Например, пусть требуется умножить число p на число 140. Согласно этому правилу, число p можно взять как 3.1416 или 3.142 и результат умножения представить тремя значащими цифрами (то есть, 440 или 4.40×10² и т.п.). Если требуется перемножить 14 и p, то p можно взять как 3.142 или 3.14 и результат представить двумя значащими цифрами, 44.

Фактически, в лабораторной практике правило значащих цифр соблюда­ется более или менее скрупулезно в зависимости от того, насколько ответственным рассматрива­ется данное измерение или вычисление. Из этого следует исходить при оформлении эксперимен­тальных результатов. Если от студента требуется в учебных целях правильно представить резуль­таты в лабораторном журнале, а среди экспериментальных данных есть числа с сомнительным числом достоверных цифр, то рекомендуется иметь в виду, что большинство рутинных измерений в учебной лаборатории производятся с относительной погрешностью приблизительно 0.01 в до­лях единицы (иначе говоря, 1 %). Например, если на колбе с раствором указана концентрация 1 г/л и это значение приходится использовать в вычислениях, то разумно рассматривать это число как 1.00 г/л, соответственно обычной относительной погрешности ~1 % при рутинном приготов­лении растворов.

Другая проблема, с которой приходится сталкиваться студенту в вычислитель­ной практике – форма записи чисел в таблицах и по осям графиков.

Таблица изображает два или более набора чисел, находящихся в некотором соответ­ствии между собой. Например, это могут быть значения аргумента х и соответствующие им зна­чения функции y. Наборы чисел обычно представляют в столбцах таблицы, а соответствие между ними ищется в строках. Иногда поступают наоборот – наборы представляют в строках, а соответ­ствие приходится искать по столбцам. Другая условность касается компактности представления чисел.

Форма записи чисел в точных науках несколько отличается от той, которая принята в торговле, бухгалтерском деле или средствах массовой информации. Здесь является обычным, когда первая ненулевая цифра стоит в первом десятичном разряде перед разделительной запятой. Например, для числа 586018 обычной записью является 5.86018×10⁵ (но не 58.6018×10⁴, 0.586018×10⁶ и т.д.). Исключение делается для чисел, первая ненулевая цифра которых при обычной записи отстоит только на один или два десятичных разряда от запятой, таких как 0.253, 12.5 и т.п., вероятно потому что запись 2.53×10^–1 или 1.25×10¹ не является более компактной или удобной, чем обычная. Это относится к отдельным числам. В таблицах, однако, мы стремимся к компактной записи целого набора чисел, а не отдельных чисел, что приводит к некоторым особенностям. Пусть, например, значениям х = 1, 2, 3 отвечают значения у = 0.00325, 0.0160 и 0.084, как показано в таблице П1.2 а. Общеприня­тый подход заключается в том, что числа " у " должны быть записаны с минимальным числом незначащих цифр и с одинаковым множителем 10 ⁿ. То есть, значения у должны быть представлены как 0.325×10^–2, 1.60×10^–2, и 8.4×10^–2, причем множитель 10^–2 выносится в заголовок столбца у, как показано в таблице П1.2 б. Чтобы установить из такой таблицы значение у, соответствующее некоторому х, необходимо в уме проде­лать вычисление: y = (y ×10²)×10^–2. Например, значению х = 2 в таб­лице П1.2б отвечает значение y ×10²= 1.60, откуда у = 1.60×10^–2 или 0.0160. (Аналогичная форма записи используется при обозначении величин, откладываемых по осям графиков).

 

Приложение 2

 

Графическая обработка результатов измерений

 

Пары чисел (х, у), находящихся во взаимном соответствии, могут быть представлены не только таблицей, но и графически в виде диаграммы в координатах х, у. Если числа (х, у) явля­ются результатами измерений и, следовательно, содержат ошибки измерений, их графическое изображение называется диаграммой рассеяния. Пары чисел в этом случае изображаются от­дельными "точками" на плоскости (х, у). Такие диаграммы являются типичными для математики дискретных переменных, например в математической статистике. Если числа (х, у) представляют функциональную зависимость у = ¦(х), в которой аргумент х является непрерывной переменной, а функция у может быть вычислена с произвольно высокой точностью для любого х в некотором диапазоне изменения х, диаграмма называется графиком функции у = ¦(х). Зависимость у = ¦(х) в этом случае изображается непрерывной линией, которую следует рассматривать как множество точек (х, у), сливающихся в одну линию. Такие диаграммы являются типичными для математики непрерывных переменных, например в математическом анализе.

В экспериментальных исследованиях часто используют комбинированные диаграммы, со­вмещающие диаграмму рассеяния и график функции в одних координатных осях (х, у). (В обиходе, такую комбинацию называют просто графиком). Это совмещение базируется на предположении, что функциональная зависимость, график которой изображен, лежит в основе соответствия между измеренными значениями х и у, и что экспериментальные точки принадле­жали бы данному графику функции, если бы не содержали погрешностей измерения.

 

2.1 Построение и обработка линейного графика

 

Рассмотрим построение и обработку линейного графика на частном примере. Пусть даны экспериментальные значения концентраций c растворов некоторого полимера и соответствующие им значения приведённой вязкости, как показано в таблице П2.1, причём для приведённой вязкости (см. лаб. работу 2) будем использовать сокращённое обозначение h r.

Из теоретических соображений и предшествующих исследований известно, что приведённая вязкость и концентрация связаны линейной функциональной зависимостью общего вида у = а + b×х, где у = h rи х = с. В такого рода зависимостях параметр a называется свободным членом или начальной ординатой графика, а параметр b - угловым коэффициентом или коэффициентом наклона. Задача графической обработки – найти параметры а и b, которые наилучшим образом удовлетворяют данным в таблице П2.1.

Построение любого графика полезно разбить на отдельные стадии.

1) Решить, какие числа отвечают независимой переменной х и какие – функции у, и записать имеющиеся пары чисел в виде таблицы в порядке увеличения независимой переменной. В данном примере эта стадия уже пройдена (табл. П2.1).

2) Выбрать приблизительный размер графика соответственно целям и сложности графического построения. Если график нужен для целей иллюстрации, то есть чтобы видеть "ход" изменения у при изменении х, можно выбрать небольшой размер, например четверть или даже меньшую часть обычного листа. Если он нужен для дальнейшей графической обработки (дополнительных построений и измерений), размер должен быть настолько большим, чтобы точность измерений на нём была не меньше точности измерения физических величин, для которых он строится. Для линейных графиков обычно бывает достаточно половины или одной трети формата А4 (21 см × 29.7 см). В данном случае, можно выбрать приблизительный размер 10 см × 10 см, и на следующей стадии откорректировать его в большую или меньшую сторону.

3) Выбрать масштабы по осям графика, то есть количество единиц измерения физических величин (h rи с в рассматриваемом примере), содержащееся в единицах длины (например в 1 см) соответствующих осей. Эта стадия является наиболее деликатной, так как масштаб должен быть "удобным", а понятие удобства является отчасти субъективным и компромиссным. Рекомендуется следующая процедура. Пусть L – первоначально намеченная длина оси (10 см в данном случае), D Ф – интервал изменения физической величины. Сначала следует составить дробь номинального масштаба D Ф (ном)/ L, где D Ф (ном) – фактический интервал изменения физической величины в таблице данных. Затем, на основании этой дроби, выбрать графический масштаб D Ф (граф)/ L', где D Ф (граф) – округлённое в сторону увеличения значение D Ф (ном), а L' – откорректированное, если в этом есть необходимость, значение L. Обычно масштаб получается удобным, когда D Ф (граф) и L' откорректированы так, что частное от их деления выражается числом с одной ненулевой цифрой. При построении на миллиметровой бумаге, эта цифра должна быть 1, 2 или 5 (это связано с тем, что 10 мм делятся без остатка на эти числа, что позволяет легко считывать показания на миллиметровой бумаге). При построении на бумаге "в клеточку" (в ученической тетради), удобный масштаб зависит от того, что выбрано в качестве единицы длины. Если считать, что две клеточки составляют 1 см, то удобными числами являются 1, 2 и 4 (это связано с тем, что две клеточки "легко" делятся на эти числа). Однако, величина корректировки D Ф должна быть как можно меньше, чтобы площадь графика использовалась эффективно.

В данном примере, по оси абсцисс откладывается концентрация с, для которой дробь номинального масштаба (см. табл. П2.1) составляет (5 – 0.3)/10 = 4.7/10. Очевидно, что откорректированный масштаб должен составлять 5/10 (при построении на миллиметровой бумаге), то есть 0.5 г/л в 1 см, причем у начала оси x следует поместить значение 0 г/л. Тогда максимальному значению 5 г/л будет отвечать 10 см от начала оси.

По оси ординат откладывается приведённая вязкость, для которой дробь номинального масштаба равна (0.770 – 0.433)/10 = 0.337/10. Эту дробь следует откорректировать до 0.5/10 (при построении на миллиметровой бумаге), и поместить в начало оси значение 0.3 или 0.4 л/г – в любом случае интервал 0.5 л/г "накроет" весь фактический интервал от 0.433 до 0.770 л/г.

4) Отложить на каждой оси по несколько основных засечек с метками, то есть с числами, показывающими масштабы и координаты, и указать откладываемые физические величины с их единицами измерения у каждой оси (см. рис. П2.1 а). В принципе, достаточно двух основных засечек на каждой оси, но для удобства обычно наносят несколько (от трёх до пяти), располагая их равномерно по осям. Если используется бумага, на которой нет типографской сетки, то интервалы между основными засечками разбивают ещё на несколько частей и снабжают их вспомогательными засечками (без меток). Иногда дополнительно наносят линии сетки, но при построении на миллиметровой бумаге этого делать не имеет смысла.

5) Построить диаграмму рассеяния, то есть отметить "точками" (их называют так же маркерами) координаты каждой пары чисел из таблицы данных (рис. П2.1 б). "Точки" должны быть настолько большими, чтобы они были ясно различимы на окончательном графике.

На этой стадии становится ясным насколько правильно выбраны масштабы по осям. Если диаграмма рассеяния покрывает только половину или меньшую часть площади графика, как показано на рис. П2.1 в), то масштаб следует откорректировать заново, в сторону уменьшения разности D Ф (граф) - D Ф (ном).

6) Построить график, который, как предполагается, лежит в основе диаграммы рассеяния. С помощью линейки (желательно прозрачной) следует подобрать такое положение прямой, при котором все точки либо попадают на выбранную прямую, либо отклоняются от неё вверх и вниз "в одинаковой степени". Математический смысл этой процедуры объясняется в приложении 3.2. В качестве практического руководства можно исходить от противного – график подобран неправильно, если точки диаграммы рассеяния отклоняются от него преимущественно в одну сторону (см. рис. П2.1 г и д).

7) В заключении следует найти коэффициенты а и b построенного графика у = а + b×х. Для этого следует выбрать любые две точки, принадлежащие графику (например, точки 1 и 2 на рис. П2.1 е), определить их координаты (х ₁, у ₁) и (х ₂, у ₂) и вычислить

, , или (П2.1)

Процедура вычисления углового коэффициента эквивалентна нахождению тангенса угла наклона графика к оси абсцисс путём решения прямоугольного треугольника 1-2-3 (рис. П2.1 е). Действительно, разности у ₂ – у ₁ и х ₂ – х ₁ представляют собой длины катетов этого треугольника, взятые в единицах измерения физических величин, отложенных по осям. К сожалению, формулировка "найти тангенс угла наклона графика" может провоцировать ошибочные действия. Если Ð(3-1-2) измерить транспортиром в градусах и затем вычислить тангенс этого угла, то, в общем случае, получится неправильный результат, потому что наблюдаемый угол зависит от масштабов, принятых для осей координат. В этом легко убедиться, если сравнить наклоны графиков на рис. П2.1 е и в, которые построены для одних и тех же чисел, но с разными масштабами по осям ординат.

 

2.2 Графическая обработка нелинейных зависимостей

 

Нелинейные функциональные зависимости между физическими величинами являются наименее благоприятными для их анализа графическими или вычислительными методами. Поэтому, если возможно, их преобразуют в линейные зависимости. Эта процедура называется линеаризацией. Например, рассмотренная выше зависимость приведённой вязкости от концентрации является продуктом линеаризации уравнения Хаггинса

h = h ₀(1 + а×с + b×с ²)

где h - вязкость раствора полимера, h ₀ – вязкость раствора при концентрации с = 0 (то есть вязкость растворителя), а и b – коэффициенты, значения которых определялись в предыдущем разделе П2.1. Чтобы преобразовать эту зависимость в линейную делаются следующие выкладки:

= 1 + а×с + b×с ² ; – 1 = а×с + b×с ² ; = а×с + b×с ² ; = а + b×с

Последнее уравнение в этой серии является линейным, вида

y = a + b×x, где х = с и у = h r= .

К сожалению, процедура линеаризации возможна далеко не всегда. Существует много зависимостей y = ¦(x), точный вид функции ¦ которых не известен и которые не могут быть линеаризованы по этой причине. Обычная задача, с которой приходится сталкиваться в этом случае, – нахождение производной (d y /d x) при некотором значении х графическим методом.

Для решения этой задачи следует выбрать по возможности большой размер графика (например целый лист формата А4) и использовать те же стадии построения, которые описаны в приложении 2.1. вплоть до стадии построения диаграммы рассеяния. На следующей стадии, построение графика "по точкам" осуществляется, в общем, по тому же принципу минимального отклонения точек от графика функции. Особенность этой стадии заключается в том, что она является менее определённой и допускающей больше произвола, чем в случае линейного графика. Всё же, как правило, эта стадия не является полностью произвольной, потому что мы обычно знаем кое-что о функции, с которой имеем дело. Мы можем знать, например, является она убывающей или возрастающей, имеет ли экстремум (максимум или минимум), асимптоту, точки перегиба (точки, в которых чередуется выпуклость и вогнутость кривой), или какие-то частные точки (например, значение у при х = 0). Такие знания необходимо использовать для сокращения неопределённости и произвольности в построении графика.

На следующей стадии необходимо найти касательную к построенной кривой при заданном х. Графическое определение касательной – это прямая, представляющая предельное положение секущей, при котором длина отсекаемой дуги равна нулю. Рисунок П2.2 иллюстрирует это определение на примере окружности (рис. а) и произвольной (дифференцируемой) кривой (рис. б). Пусть дана точка А на окружности (рис. а). Выберем любую другую точку на окружности А' и соединим её с А секущей АА'. Пусть точка А' движется по окружности в направлении уменьшения длины отсекаемой дуги через последовательные положения A'', А''', … Очевидно, что в пределе секущая займёт такое положение АТ, при котором она будет иметь только одну общую точку с окружностью, именно точку А. В таком положении она называется касательной.

Это определение можно использовать практически для нахождения касательной в точке А. Для этого следует положить линейку так чтобы она проходила через точку А и произвольную точку А', и поворачивать её вокруг А до положения АТ. (Чтобы линейка не смещалась от точки А при движении, можно воткнуть булавку рядом с этой точкой и слегка опираться на неё краем линейки).

Другой метод построения касательной показан на рис. П2.3. На выбранном отрезке кривой проводят две параллельные хорды АВ и A'B'. Делят их пополам и через полученные середины проводят прямую EF, пересекающую кривую в точке О. Прямая CD, проведённая через найденную точку О параллельно хордам АВ и A'B', является касательной к кривой в точке О. Следует обратить внимание, что в этом методе мы не задаёмся заранее точкой О, через которую должна быть проведена касательная, а находим её путём построений. Предварительно мы задаёмся только дугой АОВ, в пределах которой эта точка оказывается. Мы делаем это неявно проведением хорды АВ.

Описанные два метода построения эффективны только в тех случаях, когда точка касания находится на участке кривой, на котором кривизна является приблизительно постоянной, или, проще говоря, когда этот участок похож по своей форме на дугу окружности.

Наиболее универсальным и надёжным является метод прямоугольного зеркала. Такое зеркальце ставят ребром поперёк кривой так, чтобы его край с отражающей стороны проходил через заданную точку касания. Затем его поворачивают вокруг этой точки до положения, при котором отражение в зеркале выглядит продолжением (без излома) отрезка кривой, расположенного перед зеркалом. Когда такое положение найдено, отмечают след зеркала, проведя прямую по его краю. Затем зеркало отнимают и проводят прямую, проходящую через заданную точку перпендикулярно следу зеркала. Эта последняя прямая является касательной.

Производная функции у = ¦(х) в точке касания равна по определению коэффициенту наклона касательной. Этот коэффициент находят так же, как угловой коэффициент линейного графика (см. выше приложение 2.1). То есть, чтобы найти его графическим методом, нужно отвлечься от нелинейного графика у = ¦(х) и от точки касания на нём, и рассматривать построенную касательную как отдельный линейный график.

 

2.3 Графическая экстраполяция

 

Пусть даны пары чисел (x_i, y_i ), i = 1, 2, 3, … N, которые отвечают неизвестной функциональной зависимости y = ¦(x). Предположим, требуется найти приближённое значение у для некоторого х, не равного ни одному из данных x_i. Мы можем применить для этого какую-нибудь вычислительную или графическую процедуру. Например, можно построить диаграмму рассеяния в координатах (х, у), подобрать к точкам (x_i, y_i) график функции (от руки, с помощью линейки или лекала) и найти ординату у для интересующего нас х. Если значение х находится в пределах интервала изменения [ x ₁, x_N ], то подобная процедура называется интерполяцией. Если оно находится за пределами этого интервала – то экстраполяцией.

Между этими понятиями есть существенная разница. При интерполяции мы имеем высокую степень уверенности, что погрешность сделанной оценки у не превышает разность между ближайшими yi и yi +1или погрешности измерений yi и yi +1(если они больше разности | yi – yi +1|). При экстраполяции мы так же можем сделать некоторые оценки погрешности у, но эти оценки тем больше по величине, а наша уверенность в них тем меньше, чем дальше находится значение х за пределами интервала изменения [ x ₁, x_N ], потому что этот интервал фактически является областью определения подобранной функции.

Есть два способа экстраполяции. По одному из них следует построить график с такими интервалами изменений физических величин по осям координат, которые заведомо охватывают значения, до которых приходится проводить экстраполяцию. Затем подобрать к экспериментальным точкам график и продлить его до нужного значения по оси абсцисс. Этот способ применим только для короткой экстраполяции, то есть в том случае, когда интересующее нас значение х находится недалеко за пределами области определения х. По другому способу необходимо установить аналитический вид функции, лежащей в основе диаграммы рассеяния. Например, если диаграмма рассеяния описывается линейным уравнением вида у = а + b×x, то необходимо вычислить параметры а и b по двум произвольным точкам (х ₁, у ₁) и (х ₂, у ₂) на графике:

; или , или

Затем, зная а и b, можно вычислить значение y для любого х. Этот способ применим для короткой и дальней экстраполяции, но только в том случае, когда аналитический вид функции y = ¦(x) известен.

 

 

	Лукина Ирина Георгиевна†, Зарубин Дмитрий Павлович, Козлова Лилия Вениаминовна КОЛЛОИДНАЯ ХИМИЯ Лабораторный практикум     Подписано к печати:   Тираж:   Заказ №

· каждый измерительный прибор имеет присущую ему погрешность, которую называют основной или предельно допустимой погрешностью. Цена деления прибора находится в некотором соответствии с этой погрешностью. Например, согласно ГОСТ 1770-74, мерная стеклянная посуда (градуированные бюретки, пипетки, цилиндры, мензурки и т.д.) градуируется так, что основная погрешность равна цене деления посуды 2-ого класса точности и половине цены деления посуды 1-ого класса точности. Большинство лабораторий в России оснащено посудой 2-ого класса точности. В отношении других приборов действуют приблизительно такие же правила. Так, наиболее распространённые в России лабораторные рН метры-милливольтметры имеют цену деления 5 мВ на точных поддиапазонах, тогда как основная погрешность составляет 4 мВ.

---

Дата добавления: 2015-12-18; просмотров: 157; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!