Степенная функция с иррациональным показателем



Определение. Степенной функцией с иррациональным показателем называется функция , где a - иррациональное число.

Свойства функции ,

1. Область определения. Посколькустепень с иррациональным показателем a > 0 определена для любого положительного числа и для a < 0, то

2. Непрерывность.

Предложение. Функция , непрерывна.

Доказательство. Пользуясь свойствами логарифма, получаем . Поэтому функция f непрерывна на как композиция непрерывных функций. Докажем, что при a > 0 она непрерывна в точке 0. Пусть r – рациональное число: ; – произвольная последовательность положительных чисел, сходящаяся к 0. Начиная с некоторого номера . Так как показательная функция с таким основанием является строго убывающей и положительна, то (*) для этих номеров. Поскольку степенная функция с рациональным показателем непрерывна в точке 0, то . Переходя в неравенстве (*) к пределу при , получаем . Непрерывность в точке 0 доказана.

3. Четность, нечетность. Функция , , не является ни четной, ни нечетной при любом основании а, поскольку ее область определения не является симметричным относительно нуля множеством.

4. Монотонность. Из равенства следует, что функция f является композицией функций и . Функция является строго возрастающей, функция строго возрастает при a > 0 и строго убывает при a < 0. Вывод: если a > 0, функция f строго возрастает; если a < 0, то f строго убывает.


Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 108; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!