О вычислении собственного вектора
Лемма 5. | Последняя компонента собственного вектора ![]() ![]() |
Док–во. | Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Собственный вектор якобиевой матрицы
мы можем, положив
, вычислить по формулам
или решив систему
с неособенной матрицей.
Лекция 13. Метод вращений (Якоби)
Для самосопряженной матрицы существует унитарная матрица
(столбцы которой – собственные векторы матрицы
):
, где
.
Идея:
построить :
, тогда на диагональные элементы
будут приближать собственные значения, а столбцы
– собственные векторы матрицы
.
Определим .
Лемма 1. | Для любых квадратной матрицы ![]() ![]() ![]() |
Док–во. | Если ![]() ![]() |
В качестве матриц будем выбирать элементарные матрицы вращения.
Лемма 2. | Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() |
Док–во. | Заметим, что изменились только строки и столбцы с номерами ![]() ![]() ![]() |
Выбор вращения
Для простоты будем полагать, что матрица вещественная. Выразим разность
через элементы матрицы
.
Лемма 3. | Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Док–во. | Требуемые равенства выводятся из соотношения
![]() |
Лемма 4. | Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Док–во. | Требуемое неравенство следует из
равенства ![]() ![]() |
Следующая лемма обеспечивает существование для леммы 4 матрицы .
|
|
Лемма 5. | Решением уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() |
Док–во | осуществляется непосредственной проверкой. |
Из последних двух лемм следует справедливость теоремы сходимости метода.
Теорема 1. | Последовательность матриц ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Из теоремы 1
,
.
Пусть
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 23; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!