Применение ортогонализации и степенного метода для вычисления очередного собственного значения
Предположим, что собственное значение и соответствующий ему собственный вектор (какой–то!) матрицы мы приближенно (например степенным методом) вычислили: , .
Построим симметричную положительно определенную матрицу , где матрица – ортогональный проектор на подпространство , ортогональное вектору .
Докажите, что спектр матрицы (т.е. , ) состоит из собственных значений матрицы и нуля (вектор принадлежит ее ядру).
Отсюда следует, что, если (а степенной метод такую сходимость гарантирует), то .
Следовательно, применяя степенной метод для матрицы , мы получим приближение к и – очередным собственным значению и вектору матрицы .
Эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока мы не получим все собственные значения.
Лекция 12. Метод деления пополам (бисекций)
Для самосопряженной матрицы имеет место закон инерции:
если матрицу конгруэнтным преобразованием привести к диагональному виду: , где , то от матрицы (способа преобразования) не зависит
· – количество отрицательных элементов,
· – количество нулевых элементов,
· – количество положительных элементов на диагонали .
Нам известно (из теоремы и алгоритма –разложения), что если все , то .
Следовательно, в этом случае за конечное число действий мы можем определить .
Матрица преобразованием подобия ортогональной матрицей (конгруэнтным преобразованием) из собственных векторов приводится к диагональному виду . Следовательно,
|
|
· = количеству отрицательных,
· = количеству нулевых,
· = количеству положительных собственных значений матрицы ,
и, используя –разложение, мы можем эти числа определить.
Подытожим эти рассуждения в виде следующей леммы.
Лемма 1. | Если матрица и , то количество ее отрицательных собственных значений – число перемен знака. |
Док–во | леммы оставляется в виде упражнения. |
Идея метода бисекций вычисления
, т.к. , т.е. все собственные значения матрицы лежат в этом интервале.
Определим в какой половине интервала лежит . Для этого вычислим – количество собственных значений меньших . Если , то , иначе .
Через таких шагов получим: , т.е. мы можем получить оценку искомого собственного числа с любой точностью.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 22; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!