Приведение самосопряженной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия с помощью матриц вращения
Как и раньше, через будем обозначать элементарную матрицу вращения, отличающуюся от единичной матрицы
двумя диагональными элементами: , и двумя внедиагональными элементами: , .
Выполним и
1–й шаг. | Исключение элементов 1–го столбца матрицы , начиная с 3–его, с помощью последовательного умножения на унитарные матрицы : . |
2–й шаг. | Исключение элементов 2–го столбца матрицы , начиная с 4–ого, с помощью последовательного умножения на унитарные матрицы : . |
… | ………………….. |
k–й шаг. | Исключение элементов k–го столбца матрицы , начиная с (k+2)–ого, с помощью последовательного умножения на матрицы : . |
… | ………………….. |
(n–2)–й шаг. | Исключение последнего элемента (n-2)–го столбца матрицы с помощью умножения на матрицу : . |
,
.
Если , то ,
т.е. поиск собственных значений самосопряженной матрицы сводится к задаче на собственные значения якобиевых трехдиагональных матриц.
Лемма 2. | Самосопряженная матрица подобна трехдиагональной вещественной матрице. |
Док–во. | Только что мы привели самосопряженную матрицу к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия: . Определим матрицу : (предполагая ) , ,..., . Тогда , . |
Якобиевы матрицы
Вещественная матрица
,
называется якобиевой (у нас ).
Лемма 3. | Пусть – якобиева матрица, тогда 1. 2. если , то , если , то . |
Док–во | оставляется читателю в качестве упражнения. |
Лемма 4. | Собственные значения якобиевой матрицы попарно различные (простые). |
Док–во. | Т.к. размерность ядра симметричной матрицы совпадает с кратностью , а из леммы 3 следует, что у вырожденной якобиевой матрицы минор , то и простое собственное значение матрицы . |
|
|
Теорема. | Пусть – якобиева матрица, тогда , если приписать знак . |
Док–во. | 1. Если , то это лемма 1. |
2. Пусть . Пусть .
Определим и рассмотрим якобиевы матрицы .
Т.к. , то
а) (т.к. определитель матрицы равен произведению ее собственных значений),
б) ,
в) ,
(т.к. из леммы 4 следует, что простое и отрицательных собственных значений у матрицы на одно больше, чем у матрицы ),
г) .
Из леммы 1, а) и г) следует, что
,
,
Подсчитаем эти числа:
Из б) следует, что если и , то перемена знака происходит (или нет) одновременно в этих последовательностях.
Случай .
Из леммы 3 имеем , отсюда и из б) следует и на участках
по одной перемене знака.
Случай . Отсюда, из в) и г) следует, что
, ,
.
Следовательно, (если приписать знак ) последовательности миноров матриц и имеют одинаковые знаки. Теорема доказана.
О вычислении ЧПЗ
Для вычисления якобиевой матрицы достаточно знать знак каждого . Если
(обычно выбирают ), то и . Нормировку можно применять неоднократно, что позволит избежать быстрого роста (переполнения) чисел .
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 32; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!