Приведение самосопряженной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия с помощью матриц вращения
Как и раньше, через будем обозначать элементарную матрицу вращения, отличающуюся от единичной матрицы
двумя диагональными элементами: , и двумя внедиагональными элементами:
,
.
Выполним и
1–й шаг. | Исключение элементов 1–го столбца матрицы ![]() ![]() ![]() |
2–й шаг. | Исключение элементов 2–го столбца матрицы ![]() ![]() ![]() |
… | ………………….. |
k–й шаг. | Исключение элементов k–го столбца матрицы ![]() ![]() ![]() |
… | ………………….. |
(n–2)–й шаг. | Исключение последнего элемента (n-2)–го столбца матрицы ![]() ![]() ![]() |
,
.
Если , то
,
т.е. поиск собственных значений самосопряженной матрицы сводится к задаче на собственные значения якобиевых трехдиагональных матриц.
Лемма 2. | Самосопряженная матрица подобна трехдиагональной вещественной матрице. |
Док–во. | Только что мы привели самосопряженную матрицу ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Якобиевы матрицы
Вещественная матрица
,
называется якобиевой (у нас ).
Лемма 3. | Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Док–во | оставляется читателю в качестве упражнения. |
Лемма 4. | Собственные значения якобиевой матрицы ![]() |
Док–во. | Т.к. размерность ядра симметричной матрицы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
|
Теорема. | Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() |
Док–во. | 1. Если ![]() |
2. Пусть . Пусть
.
Определим и рассмотрим якобиевы матрицы
.
Т.к. , то
а) (т.к. определитель матрицы равен произведению ее собственных значений),
б) ,
в) ,
(т.к. из леммы 4 следует, что простое и отрицательных собственных значений у матрицы
на одно больше, чем у матрицы
),
г) .
Из леммы 1, а) и г) следует, что
,
,
Подсчитаем эти числа:
Из б) следует, что если и
, то перемена знака происходит (или нет) одновременно в этих последовательностях.
Случай .
Из леммы 3 имеем , отсюда и из б) следует
и на участках
по одной перемене знака.
Случай . Отсюда, из в) и г) следует, что
,
,
.
Следовательно, (если приписать знак
) последовательности миноров матриц
и
имеют одинаковые знаки. Теорема доказана.
О вычислении ЧПЗ
Для вычисления якобиевой матрицы
достаточно знать знак каждого
. Если
(обычно выбирают ), то
и
. Нормировку можно применять неоднократно, что позволит избежать быстрого роста (переполнения) чисел
.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 32; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!