Теорема об LU разложении
Если , то , где – нижняя, – верхняя треугольные матрицы.
Доказательство.
Если , то , ,
т.к. .
Предположим, что разложение найдено (). Вычислим
(т.е. последние строку матрицы и столбец матрицы ):
т.к.
то – системы с треугольными неособенными матрицами (решения ), и
,
очевидно, что решение этого уравнения существует, но не единственно.
(так как , то .)
И, наконец, .
Объем вычислений.
Так как для решения системы уравнений с треугольной матрицей порядка достаточно выполнить умножений и делений, то полагая на каждом шаге , получим, что число таких операций для вычисления последних строки и столбца матриц и равно , а для вычисления матриц и достаточно умножений или делений.
Замечание.
Если построено –разложение матрицы , то ее определитель вычисляется за умножений (перемножаются диагональные (ведущие) элементы).
Теорема (об – разложении). Если , то разложение ,где , единственно. | Док–во. Пусть , тогда , (т.к. – нижняя треуг. м–ца с единицами на диагонали) . |
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 22; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!