Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
Теорема. Пусть в окрестности 
точки 
производные всех порядков функции 
ограничены одним и тем же числом 
: 
при всех 
и при любом 
. Тогда функция разлагается в в ряд Тейлора (то есть ее ряд Тейлора
сходится при всех , и его сумма равна 
).
Разложение элементарных функций
В ряд Маклорена
1. Рассмотрим показательную функцию 
. При всех 
имеем: 
. Ряд Маклорена имеет вид:
Для каждого натурального 
при всех 
. По достаточному условию разложимости, выполненному для интервала 
и для 
, функция 
разлагается в ряд Маклорена в интервале , а значит, и на 
.
П оказательная функция раскладывается на в степенной ряд вида:
.
12. Рассмотрим функцию 
. Последовательно дифференцируя, получаем:
…
и т.д. Через каждые четыре дифференцирования производные повторяются. Производные всех порядков при всех 
ограничены: 
. Поэтому функция раскладывается на в степенной ряд; разложение содержит только нечетные степени и имеет вид:
.
3. Рассмотрим функцию 
. Последовательно дифференцируя, получаем:
…
и т.д. Через каждые четыре дифференцирования производные повторяются. Производные всех порядков при всех 
ограничены: . Поэтому функция раскладывается на в степенной ряд; разложение содержит только четные степени и имеет вид:
.
13. Рассмотрим функцию 
с областью определения 
. Ее производная 
. Функция 
является при 
суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессий с начальным членом 
и знаменателем 
:
Проинтегрируем это равенство почленно по направленному отрезку 
, где 
:
.
Разложение справедливо при . Можно показать, что оно сохраняется и при 
.
14. Рассмотрим функцию 
с областью допустимых значений 
. Ее производная 
. Функция 
является при суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессий с начальным членом и знаменателем 
:
Проинтегрируем это равенство почленно по направленному отрезку , где :
. (37)
При 
в правой части равенства (37) имеем знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница. Можно показать, что в этих точках сохраняется равенство (37). При получаем:
.
Принцип умножения
Принцип умножения (принцип произведения) задаёт правило для подсчёта количества различных наборов из 
элементов в случае, когда последние выбираются, соответственно, по одному из конечных множеств. Благодаря этому принципу подсчёт количества вариантов во многих случаях приводит к большим числам.
1. Если для пары 
первый член может быть выбран из 
элементов 
, а второй — из 
элементов 
, то общее количество таких пар равно произведению 
.
2. Если для тройки 
первый элемент может быть выбран из элементов , второй — из элементов , а третий — из 
элементов 
, то общее количество троек равно произведению 
.
3. В общем случае (доказывается по индукции), если строится набор из элементов, причем первый член может быть выбран 
способами, второй — 
способами, и т.д., наконец, последний — 
способами, то общее количество -членных наборов равно произведению 
.
Перестановки
Определение. Перестановкой из элементов 
называется их расположение в определённом порядке: 
.
Две перестановки считаются различными, если хотя бы один элемент занимает в них разные позиции.
Теорема. Для числа перестановок справедлива формула:
. (1)
Размещения.
Определение. Размещением из различных элементов по элементов 
называется упорядоченный набор каких-либо из этих элементов.
Два размещения из по считаются различными, если они различаются составом и/или порядком следования входящих в них элементов.
Теорема. Для числа размещений справедлива формула:
. (2)
Сочетания.
Определение. Сочетанием из различных элементов по элементов называется набор каких-либо из этих элементов без учёта порядка их следования.
Два сочетания из по считаются различными, если они различаются составом входящих в них элементов.
Теорема. Для числа сочетаний справедлива формула:
. (3)
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 37; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!