Приложение кратных и криволинейных интегралов в физике

Приведём некоторые формулы:

а) массу m пластинки находят по формуле

;

где  - поверхностная плотность массы пластинки.

б) заряд q пластинки находят по формуле

где  - поверхностная плотность заряда пластинки.

 

в) статические моменты М_х и М_у пластинки относительно координатных осей  и   находят по формулам

,

;

если пластинка однородная, то  и для простоты будем считать .

г) координаты центра тяжести X _c  и Y _c пластинки – по формулам

и

;

д) моменты инерции I_x, I_y и I₀ пластинки соответственно относительно координатных осей ,  и начала координат находят по формулам

,

,

.

е) масса этого тела m находится по формуле

;

где  - объёмная плотность массы пластинки.

 ж) моменты инерции I_x, I_y, I_z относительно координатных осей относительно начала координат соответственно находятся

,

,

;

з) массу m плоской кривой находят по формуле 

где  - линейная плотность массы кривой.

и) координаты центра масс плоской кривой находят по формулам:

 

 

;

 

к) работу переменной силы находят по формуле:

Пример. Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки, ограниченной верхней половиной эллипса   (a > b) и его большой осью (рис. 10).

 

 

Решение. Пластинка лежит в плоскости XOY. В силу симметрии пластинки относительно оси  имеем x _c = 0. Уравнение верхней половины эллипса, разрешенное относительно y, имеет вид . Для нахождения y_c найдем  и m ( ):

x

b

0

y

a

–a

Рис. 10

 

.

.

Следовательно, .

 

 

                           

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная литература

1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н.С. Пискунов. − М.: Интеграл-Пресс, 2007. − 560 с.

2. Демидович, Б.П. Краткий курс высшей математики / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. − М.: АСТ Астель, 2004. − 656 с.

3. Запорожец, Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу / Г.И. Запорожец. − М.: Книга по требованию, 2012. − 456 с.

Дополнительная литература

1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс /

Д.Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009.

2. Лавров Ю.К., Улановский М. А. – Краткий курс высшей математики. – М.: Воениздат, 1990.

3. Мордкович, А.Г., Математический анализ : учеб. пособие / А.Г. Морд-кович, А.С. Солодовников. – М. : Вербум-М, 2000. – 416 с.

 

Библиографический список

1. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) / Л.А. Кузнецов. − М.: Лань, 2015. − 240 с.

2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учеб. пособие в 4 частях / Под. ред. А.П. Рябушко. − Минск: Высшая школа, 2009. 

3. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учебное пособие / Г. Н. Берман. - 22-е изд., перераб. - СПб.: Изд-во "Профессия", 2008. - 432 с.

4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учебное пособие для втузов : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк.,1997. – 416 с.

5. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – 8-е изд. ‑ М.: Айрис-пресс, 2010. – 576 с.

 

---

Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 35; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!