Лекция 10. Матричное кодирование. Групповые коды.

Матричное кодирование.

Ранее каждая схема кодирования описывалась таблицами, задающими кодовое слово длины n для каждого исходного слова длины т. Для блоков большой длины этот способ требует большого объема па­мяти и поэтому непрактичен. Например, для (16,33)- кода потребуется 33*2¹⁶ = 2162688 бит.

Гораздо меньшего объема памяти требует матричное кодирова­ние. Пусть Е матрица размерности т n , состоящая из элементов e_ij , где iэто номер строки, a j номер столбца. Каждый из элементов матрицы e_ij может быть либо 0, либо 1. Кодирование реализуется опе­рацией b = aE или b_j = a ₁ e _{1 j} + a ₂ e _{2 j} +…+ a_m e_mj , где кодовые слова рассматриваются как векторы-строки, т.е как матрицы размера

1  п.

Пример. Рассмотрим следующую 3 6-матрицу:

 

 

Тогда кодирование задается такими отображениями: 000→000000, 001→001111, 010→010011, 011→011100, 100→100110, 101→101001, 110→110101, 111→111010.

Рассмотренный пример показывает преимущества матричного ко­дирования: достаточно запомнить т кодовых слов вместо 2^т слов. Это общий факт.

Кодирование не должно приписывать одно и то же кодовое слово разным исходным сообщениям. Простой способ добиться этого состоит в том, чтобы т столбцов (в предыдущем примере первых) матрицы Е образовывали единичную матрицу. При умножении любого вектора на единичную матрицу получается этот же самый вектор, следователь­но, разным векторам-сообщениям будут соответствовать разные векто­ра систематического кода.

Матричные коды называют также линейными кодами. Для линей­ных ( n - r , n )-кодов с минимальным расстоянием Хэмминга d существу­ет нижняя граница Плоткина (Plotkin) для минимального количе­ства контрольных разрядов r при n ≥2 d - 1.

 

Групповые коды.

Множество всех двоичных слов а = а₁ ... а_т длины т образует абелеву (коммутативную) группу относительно поразрядного сложения.

Пусть Е кодирующая т n - матрица, у которой есть т  т-подматрица с отличным от нуля определителем, например, единичная. Тогда отображение а →Е переводит группу всех двоичных слов дли­ны т в группу кодовых слов длины n .

Предположим, что а = а₁... а_т = а'+ а". Тогда для b = b ₁ … b _п = a Е, b ' = a 'Е, b " = a "Е, получаем

 

т.е. b = b '+ b ". Следовательно, взаимно-однозначное отображение группы двоичных слов длины m при помощи заданной матрицы Е сохраняет свойства групповой операции, что означает, что кодовые слова образуют группу.

Блочный код называется групповым, если его кодовые слова образуют группу.

Если код является групповым, то наименьшее расстояние между двумя кодовыми словами равно наименьшему весу ненулевого слова.

Это следует из соотношения d ( bi , bj )= w ( b_i + bj ).

В предыдущем примере наименьший вес ненулевого слова равен 3. Следовательно, этот код способен исправлять однократную ошибку или обнаруживать однократную и двойную.

При использовании группового кода незамеченными остаются те, и только те ошибки, которые отвечают строкам ошибок, в точности равным кодовым словам.

Такие строки ошибок переводят одно кодовое слово в другое.

Следовательно, вероятность того, что ошибка останется необнару­женной, равна сумме вероятностей всех строк ошибок, равных кодовым словам.

В рассмотренном примере вероятность ошибки равна 4 p ³ q ³ +3 p ² q ⁴ .

Рассмотрим задачу оптимизации декодирования группового кода с двоичной матрицей кодирования Е. Требуется минимизировать веро­ятность того, что D (Т( a Е))≠ a .

Схема декодирования состоит из группы G всех слов, которые мо­гут быть приняты (#G=2ⁿ). Так как кодовые слова В образуют нор­мальную (нормальность следует из коммутативности G ) подгруппу G ,

го множеству G можно придать структуру таблицы: будем записывать в одну строку те элементы G, которые являются членами одного смеж­ного класса G по В. Первая строка, соответствующая нулевому слову

из G, будет тогда всеми кодовыми словами из В, т.е. b ₀ , b ₁ ,…, b ₂ ^m _-1 .

В общем случае, если g_i є G то, строка, содержащая g_i , (смежный класс g_i ,В) имеет вид b ₀ + g_i , b ₁ + g_i ,…, b ₂ ^m _-1 + g_i .

Лидером каждого изтаких построенных смежных классов называется слово минимального веса.

Каждый элемент g из G однозначно представляется в виде суммы gi + b_j , где g_i∊G лидер соответствующего смежного класса и bj є В.

Множество классов смежности группы образуют фактор-группу, кото­рая есть фактор-множество множества G по отношению эквивалентности-принадлежности к одному смежному классу, а это означает, что множества, составляющие это фактор-множество, образуют разбиение G . Отсюда следует, что строки построенной таблицы попарно либо не пересекаются, либо совпада­ют.

Если в рассматриваемой таблице в первом столбце записать лиде­ры, то полученная таблица называется таблицей декодирования. Она имеет вид:

 

 

То, что строк будет 2^n-mследует из теоремы Лагранжа т.к. 2^{n- m} это порядок фактор -группы G / B (#(G/B) = #(G)/#(B), #B = 2^m).

Декодирование слова g = b_j + g_i состоит в выборе кодового слова b_j в качестве переданного и последующем применении операции, обрат­ной умножению на Е. Такая схема декодирования сможет исправлять ошибки.

Для (3,6)-кода пи рассматриваемого примера таблица декодирова­ния будет следующей:

 

 

Первая строка в ней - это строка кодовых слов, а первый столбец это лидеры.

Чтобы декодировать слово bj + е, следует отыскать его в таблице и выбрать в качестве переданного слово в том же столбце и в первой строке.

Например, если принято слово 110011 (2-я строка, 3-й столбец та­блицы), то считается, что было передано слово 010011; аналогично, если принято слово 100101 (3-я строка, 4-й столбец таблицы), переданным считается слово 110101. и т.д.

Групповое кодирование со схемой декодирования посредством ли­деров исправляет все ошибки, строки которых совпадают с лидерами. Следовательно, вероятность правильного декодирования переданного по двоичному симметричному каналу кода равна сумме вероятностей всех лидеров, включая нулевой.

В рассмотренной схеме вероятность правильной передачи слова бу­дет р⁶ +6p ⁵ q + p ⁴ q ².

Кодовое слово любого столбца таблицы декодирования является ближайшим кодовым словом ко всем прочим словам данного столбца.

Пусть переданное слово b ; принято как b_i + е, d ( b_i , bi + е) = w(е), т.е. это расстояние равно весу соответствующего лидера. Расстояние от bi + е  до любого другого кодового слова bj равно весу их поразрядной суммы, т.е.

 

 

т.к. e - лидер смежного класса, к которому принадлежат как bi + е, так и bi + е.

Доказано, при схеме декодирования лидерами по полученному сло­ву берется ближайшее к нему кодовое.

 

---

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 86; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!