VIII. Решение логарифмических и иррациональных уравнений.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Ошибки, допускаемые учащимися при решении логарифмических уравнений, бывают связаны с неправильным применением формул для логарифмирования произведения, дроби и степени.

Используя формулы логарифмирования:

1) , x > 0, y > 0,

2) , a , a > 0

3) , p – любое действительное число.

Нужно помнить, что ОДЗ их левых и правых частей не совпадают. Правые части (1) и (2) имеют смысл, когда x > 0, y > 0.

Левые же части имеют смысл, когда знаки х и у совпадают. Следовательно, при переходе от выражения к выражению ОДЗ сужается, а это может привести к потере корней.

Правая часть (3) определена лишь при х > 0, а ОДЗ левой части зависит от показателя степени p. Если р – целое четное число, то левая часть (3) имеет смысл и при отрицательном х. Поэтому переход от выражения к выражению может привести к потере решений уравнения. Поэтому формулы лучше применять в такой форме:

1) ;

2) ;

3) , (р – четное).

Используя формулы в таком виде, невозможно потерять корни, можно лишь приобрести посторонние. Но это не так страшно. Просто необходима проверка полученных решений.

Например:

Неправильное решение:

2lg (x + 1) + 2lg (x + 9) = 2lg9,

lg (x + 1) + lg (x + 9) = lg9,

lg (x + 1) (x +9) = lg9,

(x + 1) (x + 9) = 9,

x + 10x = 0,

x .

Правильное решение:

ОДЗ: х ,

2lg |x + 1| + 2lg |x + 9| = 2lg9,

lg |(x + 1) (x + 9)| = lg9,

|x + 10x + 9| = 0,

x ,

a) x + 10x + 9 = 9 x .

б) x + 10x + 9 = -9, x + 10x + 18 = 0,

x .

Это же уравнение можно решить и другим способом:

ОДЗ: х ,

((х + 1) (х + 9)) = 81,

(x + 10x + 9) = 81,

x + 10x + 9 = 9, x + 10x + 9 = -9,

x ; x .

Пример:

lg x = 6

I способ:

2lgx = 6, lgx = 3, x = 1000;

II способ:

На основании определения логарифма, имеем:

x = 10 , х = 1000.

Решая первым способом, мы сузили ОДЗ для х, поэтому произошла потеря корня. Правильно применять первый способ нужно так:

lg x = 6, 2lg|x| = 6, lg|x| = 3, |x| = 1000, x = 1000.

Примеры:

1. Решите уравнение:

А) 1.

В) 2.

С) -2; 1.

D) 1; 2.

Е) -1; 32.

(Вариант-21 №16 2007г.)

2. Решите уравнение: .

А) 13.

В) -3,5; 13.

С) -26; 13.

D) -13; 3,5.

Е) 26.

(Вариант-12 №17 2007г.)

3. Решите уравнение:

А) 0; 2; 16\9.

В) 16\9; 2.

С) 0; 16\9.

D) 0; 2.

Е) 16\9.

(Вариант-30 №14 2002г.)

4. Решите уравнение:

Ответ: .

(№992 2006г. Тестовые задания, Кокшетау)

5. Решите уравнение:

Ответ: .

(№885 2006г. Тестовые задания, Кокшетау)

Коды правильных ответов

1	2	3	4	5
B	A	C	±1; ±1/9	±5

Следует иметь в виду для любых уравнений, что при делении, а также умножении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять или приобрести посторонние корни. Сокращение на выражение, содержащее неизвестное, - это очень распространенная ошибка, которую допускают учащиеся при решении уравнений и неравенств.

Например:

1. Решите уравнение: (х + 4) (х - 7) = х – 7.

Если обе части уравнения разделить на х – 7, то будет потерян корень х= = 7.

Решение:

(х + 4) (х - 7) – (х – 7) = 0, (х – 7) (х + 4 – 1) = 0, х = 7 или х = -3.

Ответ: х = 7, х = -3.

2. Решите уравнение: sin х = sin x.

sin х - sin x = 0, sin x (sin x – 1) = 0,

sin x = 0 или sin x = 1, тогда

x = или x = .

Eсли же сократить на sin x, то потеряются все корни, для которых sin x = = 0.

Подобных ошибок следует избегать в следующих тестовых заданиях:

1. Решите уравнение:

Решение: 2х³-7х²+6х=0, х(2х²-7х+6)=0, х=0 или 2х²-7х+6=0,

х₁=2, х₂=1,5

Ответ:0;2;1,5.

А) -2; 0; 1.5.

В) -1.5; 0; 2.

С) 1.5; 2.

D) 0; 1.5; 2.

Е) -1.5; -1; 0.

(Вариант-8 №16 2006г.)

2. Решите уравнение: 2cos x cos 2x – cos x = 0

А) .

В) .

С) , .

D) .

Е) ,

(Вариант-32 №15 2006г.)

3. Решите уравнение: .

А) {1; 3; -3}.

В) {-1; 3; -3}.

С) {-1; 3; 1\3}.

D) {1; -3; -1\3}.

Е) {1; -3; 1\3}.

(Вариант-21 №9 2005г.)

4. Решите уравнение: .

А) .

В) ; .

С) .

D) ; .

Е) .

(Вариант-14 №16 2007г.)

5. Решите уравнение: .

А) 1\2; 1\3.

В) -3; 1.

С) -9; 0.

D) 0;4.

Е) 2; 6.

(Вариант-25 №7 2005г.)

6. Решите уравнение: sin 2x = sin x.

А) ; .

В) .

С) ; .

D) .

Е) .

(Вариант-32 №13 2005г.)

7. Решите уравнение: 1 - cos 2x = 2sin x.

А) .

В) .

С) ; .

D) .

Е) .

(Вариант-18 №23 2005г.)

8. Решите уравнение: sin x +sin 2x = cos x +2 cos .

А) ; .

В) ; .

С) нет корней.

D) ; .

Е) ; .

(Вариант-14 №28 2005г.)

9. Решите уравнение: 2sin x + 2sin 2x = .

А) ; .

В) нет решений.

С) ; .

D) ; ; .

Е) ; .

(Вариант-8 №30 2005г.)

Коды правильных ответов

1	2	3	4	5	6	7	8	9
D	E	B	B	D	A	C	D	E

Решения многих уравнений можно упростить введением новой переменной.

Например:

Решите уравнение: + = 14.

Пусть = u, = v.

Получаем систему: .

Решая способом подстановки, находим: , .

, .

Возвращаясь к прежней переменной, получаем:

= , х = 2.

= ,

= , х = -2.

Ответ: х = 2; х = -2.

Использование вспомогательных неизвестных часто существенно ускоряет решение иррациональных уравнений.

Например:

1. - = 2

Можно ввести две переменные.

Пусть = u, = v.

, .

Получаем систему: .

Преобразуем второе уравнение: (u – v) (u + v) = 16,

, .

Возвращаясь к прежней переменной, получим:

Ответ: х = 4.

(Вариант-27 №7 2002г.)

(№651 2006г. Тестовые задания, Кокшетау)

, , , - не является решением.

, , .

Ответ: 0; 1.

При решении уравнений такого вида чаще всего применяют способ уединения корня, с последующим возведением обеих частей уравнения в надлежащую степень. И при этом важно иметь в виду, что среди посторонних корней, получающихся при возведении уравнения в степень, могут быть и такие, которые принадлежат ОДЗ, но решением уравнения не являются. Это можно выяснить проверкой.

Например:

Решите уравнение:

4 + 6 = 5х, ОДЗ: 3 – х , х .

Уединим корень и возведем обе части в квадрат:

4 = 5х – 6, 16(3 – х) = 25х - 60х + 36, 25х - 44х – 12 = 0.

Решаем методом «переброски»: .

Оба корня принадлежат ОДЗ, но решением уравнения является только - посторонний корень.

Аналогичные тестовые задания:

1. Решите уравнение: = 8 – х.

А) 1.

В) 2.

С) 4.

D) 6.

Е) 3.

(Вариант-14 №7 2002г.)

2. Решите уравнение:

Ответ: 13.

(№669 2006г. Тестовые задания, Кокшетау)

3. Решите уравнение:

Ответ: 5.

(№648 2006г. Тестовые задания, Кокшетау)

4. Решите уравнение:

Ответ: 8.

(№646 2006г. Тестовые задания, Кокшетау)

5. Решите уравнение:

Ответ: 2.

(№643 2006г. Тестовые задания, Кокшетау)

IX. Вычисление производных.

Большое внимание в тестах уделяется вычислению производных. Вычисление производных осуществляется согласно правилам и формулам. Обратим внимание на функции вида:

у = , .

Сравнивая данную функцию и ее производную, приходим к выводу: чтобы найти производную данной функции, нужно числитель умножить на показатель степени знаменателя с противоположным знаком, а показатель степени увеличить на единицу. Принятие во внимание этого факта поможет сэкономить время при вычислении производных такого вида на ЕНТ:

1. Для функции у = , определите:

а) нули;

б) промежутки возрастания;

в) промежутки убывания.

Указание: = +

А) а) -4, 4; б) ( ); в) нет.

В) а) -4, 4; б) ( ); в) нет.

С) а) -4, 0; б) ( ); в) нет.

D) а) -4, 4; б) ( ); в) [-4, 4].

Е) а) -4, 0, 4; б) ); в) ( ].

(Вариант-1 №24 2002г.)

2. Дана функция f(x) = . Найдите .

А) 0.

В) -3.

С) 5.

D) 1.

Е) 6.

(Вариант-31 №11 2007г.)

3. Для функции у = , определите:

а) нули;

б) промежутки возрастания;

в) промежутки убывания.

А) а) -3, 3; б)нет; в) ( ).

В) а) -3, 3; б) ( ; в) [0, ).

С) а) -3, 3; б)нет; в) ( ).

D) а) -3, 0, 3; б)[-3, 0], [3, ); в) ( ).

Е) а) 3, -3; б) [3, 1], [-3, 0]; в) (0, -3], [0, 3].

(Вариант-11 №29 2003г.)

4. Для функции у = , найдите:

а) все критические точки;

б) точки минимума и точки максимума;

А) а) ; б) , , .

В) а) ; б) , .

С) а) ; б) ,

D) а) ; б) , .

Е) а) ; б) ,

(Вариант-13 №18 2003г.)

Коды правильных ответов

1	2	3	4
B	C	C	B

Очень часто при вычислении производных сложных функций учащиеся допускают ошибки. Находя производную функции y = lg(3x + 5), забывают умножить результат на 3. Почему? Просто многие из них не владеют понятием сложной функции. Поэтому при вычислении производных необходима последовательность рассуждений:

1. Определить вид функции (линейная, квадратичная, логарифмическая, степенная и т.д.)

2. Если – да, то ее производная берется согласно известным формулам.

3. Если – нет, то можно ли данную функцию представить в виде суммы (разности), произведения или частного указанных функций.

4. Если – да, то работаем с соответствующими формулами.

5. Если – нет, то надо рассматривать данную функцию как сложную.

Например:

Найти производную функции у = (2х – 4) .

Последовательно рассуждая, приходим к выводу, что данная функция сложная: степенная от линейной. Значит, ее производная равна произведению производной степенной и линейной функций 10(2х – 4).