Вероятность спонтанного излучения поляризованного электрона

ГЛАВА 3. ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ С ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНОЙ

Спонтанное излучение релятивистского электрона в поле плоской электромагнитной волны

Значительный интерес сохраняется к одному из фундаментальных процессов физики элементарных частиц - рассеянию фотонов на электроне.

Основополагающий результат работы [180], впервые полученный квазиклассическим методом, был строго обоснован в [181] и затем повторялся много раз другими авторами.

Здесь необходимо отметить,     что наиболее полное рассмотрение излучения релятивистских частиц во внешних электромагнитных полях возможно только на основе квантовой теории, в соответствии с которой частицы и поле излучения представляют собой две квантовомеханические системы, которые взаимодействуют между собой даже при отсутствии в начальный момент времени фотонов. Этим взаимодействием и объясняются спонтанные переходы с испусканием фотонов.

Дифференциальное сечение эффекта Комптона в зависимости от поляризации всех участвующих в процессе частиц изучалось в [182, 183]. Дальнейшим развитием этой темы послужили появившиеся в 60-годы работы [184-189], в которых интенсивность налетающей на электрон электромагнитной волны принималась произвольно большой. Часть этих результатов, как оказалось, имелась в более ранней работе [190]. При расчетах в [184-189] использовались точные решения уравнения Дирака для электрона в поле плоской электромагнитной волны.

 

Волновые функции и квантовые числа электрона

 

Пусть плоская волна распространяется вдоль единичного вектора . В этой волне движется электрон. Электромагнитный 4-потенциал, соответствующий такой волне, имеет вид

 

                        , ,                  (3.1)

 

где  произвольная функция . Известно [20, 43], что в поле плоской волны интегралы движения можно записать как

 

                 , ,           (3.2)

 

где  - энергия,  - обобщенный импульс электрона,  - постоянная Планка.

Пусть потенциал волны подчиняется условию

 

                                                                      (3.3)

 

отсюда можно сделать вывод [20], что движение электрона в плоской волне является сложным и представляет собой некоторые колебания около некоторого фиксированного центра и дрейф этого центра со средней скоростью .

 

                               , , ,                       (3.4)

, ,

 

где  - «эффективная масса» электрона

 

                           , ,                     (3.5)

 

 - масса покоя электрона

 

                                                                      (3.6)

 

Безразмерный параметр γ², характеризующий интенсивность волны является релятивистским инвариантом.

Из (3.4) можно получить соотношения

 

                     , ,              (3.7)

 

Для скорости дрейфа  будем использовать способ задания

 

,

                      , ,               (3.8)

,

 

В (З. 8) векторы ,  - произвольные ортогональные единичные векторы, лежащие в плоскости, ортогональной вектору .

Тройка векторов , ,  - является правой.

Величины  и  - в квантовой электродинамике также являются интегралами движения. В [42] получены волновые функции электрона, соответствующие состояниям с определенными значениями  и .

Запишем эти волновые функции в блочной форме через двумерные матрицы Паули

 

                                                 (3.9)

, ,

 

где  - произвольный постоянный двухкомпонентный спинор, L нормировочная длина. Для уравнения Дирака, описывающее электрон в поле плоской волны, определен спиновый интеграл движения

 

,

, ,

,

                                           ,                                 (3.10)

 

Здесь ,  - матрицы Дирака. Впервые такой интеграл найден в [109] (см. также [431]). При получении этого интеграла брали  как постоянный вектор, не зависящий от , t.

Пусть волновая функция (3.9) подчиняется условию

 

                                        ,                               (3.11)

 

Тогда (3.11) удовлетворяется, если спинор  описывается уравнением

 

                                         ,                                 (3.12)

 

Установим смысл спинового оператора, также как и векторов  и . Для этого перейдем в нерелятивистское приближение. В этом случае,  и, следовательно, единичный вектор  определяет направление ориентации спина. Назовем его спиновым вектором.

Однако в [109] и в [4З] опущена одна возможность. А именно: оператор (3.10) будет интегралом движения при условии, если  - оператор (точнее - вектор-оператор) - интеграл движения. Тогда (3.11) и (3.12) по-прежнему выполняются но в (3.12) оператор  необходимо переменить на его собственное число .

Окончательно, состояние электрона в поле плоской волны будем характеризовать четырьмя квантовыми числами , ,  (при заданном операторе R)

 

Вероятность спонтанного излучения поляризованного электрона

 

Интерпретируя взаимодействие электрона с вторично квантованным полем излучения как возмущение, можно получить для вероятности излучения фотона в единицу времени в первом порядке теория возмущения формулу [192]:

 

                           , ,                 (3.13)

 

Здесь  и  - волновые функции начального и конечного состояний электрона определяемые как решения уравнения Дирака во внешнем электромагнитном поле, считающимся классическим. Далее,  оператор, уничтожения фотона с импульсом ,  - четырехмерная матрица Дирака, связанная с двухрядными матрицами Паули  соотношением

 

                                                                                   (3.14)

 

Для изучения поляризационных свойств излучения амплитуду выберем в виде [192]

 

                              , ,                    (3.15)

,

, ,

 

 - единичный вектор.

Используя сферическую систему координат для единичного вектора . Тогда

 

, ,

, ,

 

Здесь положим . Отметим, что подобный выбор векторов поляризации  и  соответствует разложению излучения на  и  компоненты линейной поляризации.

Для того, чтобы исследовать процессы с участием поляризованных электронов необходимо в явном виде выделить зависимость вероятности процессов от ориентации спина электрона в начальном и конечном состояниях.

Вероятность процесса с участием поляризованных электронов пропорциональна квадрату модуля матричного элемента, который всегда можно представить в виде

 

                                                                (3.16)

 

где  и  векторы, определяющие ориентацию спина электрона в начальном и конечном состояниях,  некоторое число,  - вектор. С учетом (3.16) квадрат модуля матричного элемента приводим к виду

 

                                        (3.17)

 

в этом выражении явно учитывается ориентация спина электрона, аналогичное выражение приводится в [12].

Если необходимо учитывать ориентацию спина электрона только в конечном состоянии, то усредняя в (3.17) по начальным спиновым состояниям, получим

 

                  (3.18)

 

Если просуммировать по конечным спиновым состояниям

 

                                                                (3.19)

 

В (3.17) векторы  и  произвольны, но если эти векторы совпадают, то (3.17) примет более простой вид

 

                                          (3.20)

 

Нас в дальнейшем будет интересовать характер поведения электронного спина при спонтанном излучении в поле плоской волны. Это поведение полностью определяется вероятностью переходов с переворотом спина , где  - спиновое число начального состояния,  - спиновое число конечного состояния. Это можно объяснить тем, что поскольку вероятность зависит от начального (конечного) спинового состояния в явном виде, тогда различные спиновые состояния имеют разную устойчивость и при излучении спин электрона приобретает преимущественную ориентацию. Оказывается, что для волны круговой поляризации, т.е. для фотонов, имеющих определенную спиральность и спин которых ориентирован в одном направлении, наблюдается очень сильная зависимость вероятности переходов с переворотом спина от начального спинового числа  [182, 183, 192, 193]. Физически очевидно, что можно обобщить и на случай электромагнитной волны произвольной интенсивности, что является физически объяснимым.

В связи с этим примем к рассмотрению монохроматическую плоскую волну круговой поляризации, потенциал которой будем определять формулой

 

                          ,                 (3.21)

 

Здесь  - амплитуда напряженности электрического поля волны,  - частота волны, g =1 и g =-1 соответствуют право и лево поляризованной волнам.

Параметр , заданный 3.5 примет вид

 

                                                                                      (3.22)

 

Расчет матричных элементов процесса излучения для выбранного нами типа волны выполняется в аналитическом виде до конца [184-189,109].

Пусть вектор импульса излученного фотона есть . Вектор имеет вид

 

, ,

                                  , ,                         (3.23)

 

где ,  - сферические углы, определяющие направление  распространения излученного фотона,  - частота излучения.

Определим  при помощи законов сохранения:

 

                                              (3.24)

 

где  - номер излучаемой гармоники. Отметим, что (3.24) пригодна для любой поляризации плоской монохроматической волны.

В предшествующих работах при расчетах полагали в начальном состоянии , либо,  (это соответствует полному отсутствию дрейфа ( ) в начальном состоянии). Тем не менее удалось выяснить, что это не упрощает расчетов, поскольку переход в систему координат, где , соответствует прео6разованию угловых переменных , . В дальнейшем вместо углов ,  будем использовать новые углы ,  связанные соотношениями с , :

 

                                              (3.25)

,

,

,

,

, ,

 

Частоту фотона  из (3.24) определим через углы ,  следующим образом

 

                             ,                     (3.26)

 

Эти замены позволяют значительно упростить вычисления вероятности W излучения с учетом ориентации начального (спиновый вектор , спиновое число ) и конечного (спиновый вектор , спиновое число ) спинов, её можно представить как

 

                                 ,                       (3.27)

,

,

,

,

 

где ,  - функция Бесселя и ее производная,

 

                           ,                   (3.28)

 

Для вектора  справедливо соотношение

 

                                      ,                              (3.29)

 

Таким образом, единичный вектор  параллелен конечному поперечному импульсу  электрона в той системе координат, в которой в начальном состоянии поперечный импульс .

 

---

Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 431; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!