Вероятность спонтанного излучения поляризованного электрона
ГЛАВА 3. ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ С ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНОЙ
Спонтанное излучение релятивистского электрона в поле плоской электромагнитной волны
Значительный интерес сохраняется к одному из фундаментальных процессов физики элементарных частиц - рассеянию фотонов на электроне.
Основополагающий результат работы [180], впервые полученный квазиклассическим методом, был строго обоснован в [181] и затем повторялся много раз другими авторами.
Здесь необходимо отметить, что наиболее полное рассмотрение излучения релятивистских частиц во внешних электромагнитных полях возможно только на основе квантовой теории, в соответствии с которой частицы и поле излучения представляют собой две квантовомеханические системы, которые взаимодействуют между собой даже при отсутствии в начальный момент времени фотонов. Этим взаимодействием и объясняются спонтанные переходы с испусканием фотонов.
Дифференциальное сечение эффекта Комптона в зависимости от поляризации всех участвующих в процессе частиц изучалось в [182, 183]. Дальнейшим развитием этой темы послужили появившиеся в 60-годы работы [184-189], в которых интенсивность налетающей на электрон электромагнитной волны принималась произвольно большой. Часть этих результатов, как оказалось, имелась в более ранней работе [190]. При расчетах в [184-189] использовались точные решения уравнения Дирака для электрона в поле плоской электромагнитной волны.
|
|
Волновые функции и квантовые числа электрона
Пусть плоская волна распространяется вдоль единичного вектора . В этой волне движется электрон. Электромагнитный 4-потенциал, соответствующий такой волне, имеет вид
, , (3.1)
где произвольная функция . Известно [20, 43], что в поле плоской волны интегралы движения можно записать как
, , (3.2)
где - энергия, - обобщенный импульс электрона, - постоянная Планка.
Пусть потенциал волны подчиняется условию
(3.3)
отсюда можно сделать вывод [20], что движение электрона в плоской волне является сложным и представляет собой некоторые колебания около некоторого фиксированного центра и дрейф этого центра со средней скоростью .
, , , (3.4)
, ,
где - «эффективная масса» электрона
, , (3.5)
- масса покоя электрона
(3.6)
|
|
Безразмерный параметр γ2, характеризующий интенсивность волны является релятивистским инвариантом.
Из (3.4) можно получить соотношения
, , (3.7)
Для скорости дрейфа будем использовать способ задания
,
, , (3.8)
,
В (З. 8) векторы , - произвольные ортогональные единичные векторы, лежащие в плоскости, ортогональной вектору .
Тройка векторов , , - является правой.
Величины и - в квантовой электродинамике также являются интегралами движения. В [42] получены волновые функции электрона, соответствующие состояниям с определенными значениями и .
Запишем эти волновые функции в блочной форме через двумерные матрицы Паули
(3.9)
, ,
где - произвольный постоянный двухкомпонентный спинор, L нормировочная длина. Для уравнения Дирака, описывающее электрон в поле плоской волны, определен спиновый интеграл движения
,
, ,
,
, (3.10)
Здесь , - матрицы Дирака. Впервые такой интеграл найден в [109] (см. также [431]). При получении этого интеграла брали как постоянный вектор, не зависящий от , t.
|
|
Пусть волновая функция (3.9) подчиняется условию
, (3.11)
Тогда (3.11) удовлетворяется, если спинор описывается уравнением
, (3.12)
Установим смысл спинового оператора, также как и векторов и . Для этого перейдем в нерелятивистское приближение. В этом случае, и, следовательно, единичный вектор определяет направление ориентации спина. Назовем его спиновым вектором.
Однако в [109] и в [4З] опущена одна возможность. А именно: оператор (3.10) будет интегралом движения при условии, если - оператор (точнее - вектор-оператор) - интеграл движения. Тогда (3.11) и (3.12) по-прежнему выполняются но в (3.12) оператор необходимо переменить на его собственное число .
Окончательно, состояние электрона в поле плоской волны будем характеризовать четырьмя квантовыми числами , , (при заданном операторе R)
Вероятность спонтанного излучения поляризованного электрона
|
|
Интерпретируя взаимодействие электрона с вторично квантованным полем излучения как возмущение, можно получить для вероятности излучения фотона в единицу времени в первом порядке теория возмущения формулу [192]:
, , (3.13)
Здесь и - волновые функции начального и конечного состояний электрона определяемые как решения уравнения Дирака во внешнем электромагнитном поле, считающимся классическим. Далее, оператор, уничтожения фотона с импульсом , - четырехмерная матрица Дирака, связанная с двухрядными матрицами Паули соотношением
(3.14)
Для изучения поляризационных свойств излучения амплитуду выберем в виде [192]
, , (3.15)
,
, ,
- единичный вектор.
Используя сферическую систему координат для единичного вектора . Тогда
, ,
, ,
Здесь положим . Отметим, что подобный выбор векторов поляризации и соответствует разложению излучения на и компоненты линейной поляризации.
Для того, чтобы исследовать процессы с участием поляризованных электронов необходимо в явном виде выделить зависимость вероятности процессов от ориентации спина электрона в начальном и конечном состояниях.
Вероятность процесса с участием поляризованных электронов пропорциональна квадрату модуля матричного элемента, который всегда можно представить в виде
(3.16)
где и векторы, определяющие ориентацию спина электрона в начальном и конечном состояниях, некоторое число, - вектор. С учетом (3.16) квадрат модуля матричного элемента приводим к виду
(3.17)
в этом выражении явно учитывается ориентация спина электрона, аналогичное выражение приводится в [12].
Если необходимо учитывать ориентацию спина электрона только в конечном состоянии, то усредняя в (3.17) по начальным спиновым состояниям, получим
(3.18)
Если просуммировать по конечным спиновым состояниям
(3.19)
В (3.17) векторы и произвольны, но если эти векторы совпадают, то (3.17) примет более простой вид
(3.20)
Нас в дальнейшем будет интересовать характер поведения электронного спина при спонтанном излучении в поле плоской волны. Это поведение полностью определяется вероятностью переходов с переворотом спина , где - спиновое число начального состояния, - спиновое число конечного состояния. Это можно объяснить тем, что поскольку вероятность зависит от начального (конечного) спинового состояния в явном виде, тогда различные спиновые состояния имеют разную устойчивость и при излучении спин электрона приобретает преимущественную ориентацию. Оказывается, что для волны круговой поляризации, т.е. для фотонов, имеющих определенную спиральность и спин которых ориентирован в одном направлении, наблюдается очень сильная зависимость вероятности переходов с переворотом спина от начального спинового числа [182, 183, 192, 193]. Физически очевидно, что можно обобщить и на случай электромагнитной волны произвольной интенсивности, что является физически объяснимым.
В связи с этим примем к рассмотрению монохроматическую плоскую волну круговой поляризации, потенциал которой будем определять формулой
, (3.21)
Здесь - амплитуда напряженности электрического поля волны, - частота волны, g =1 и g =-1 соответствуют право и лево поляризованной волнам.
Параметр , заданный 3.5 примет вид
(3.22)
Расчет матричных элементов процесса излучения для выбранного нами типа волны выполняется в аналитическом виде до конца [184-189,109].
Пусть вектор импульса излученного фотона есть . Вектор имеет вид
, ,
, , (3.23)
где , - сферические углы, определяющие направление распространения излученного фотона, - частота излучения.
Определим при помощи законов сохранения:
(3.24)
где - номер излучаемой гармоники. Отметим, что (3.24) пригодна для любой поляризации плоской монохроматической волны.
В предшествующих работах при расчетах полагали в начальном состоянии , либо, (это соответствует полному отсутствию дрейфа ( ) в начальном состоянии). Тем не менее удалось выяснить, что это не упрощает расчетов, поскольку переход в систему координат, где , соответствует прео6разованию угловых переменных , . В дальнейшем вместо углов , будем использовать новые углы , связанные соотношениями с , :
(3.25)
,
,
,
,
, ,
Частоту фотона из (3.24) определим через углы , следующим образом
, (3.26)
Эти замены позволяют значительно упростить вычисления вероятности W излучения с учетом ориентации начального (спиновый вектор , спиновое число ) и конечного (спиновый вектор , спиновое число ) спинов, её можно представить как
, (3.27)
,
,
,
,
где , - функция Бесселя и ее производная,
, (3.28)
Для вектора справедливо соотношение
, (3.29)
Таким образом, единичный вектор параллелен конечному поперечному импульсу электрона в той системе координат, в которой в начальном состоянии поперечный импульс .
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 420; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!