ЗАСТОСУВАННЯ СТЕПЕНЕВИХ РЯДІВ ДО НАБЛИЖЕНИХ ОБЧИСЛЕНЬ, ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ ФУНКЦІЙ І РОЗВ’ЯЗАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Зауважимо, що у цьому розділі корисно мати на увазі формули для розкладу у степеневі ряди функцій

Для обчислення логарифмів корисна формула

Ряд у правій частині цієї рівності швидко збігається.

Для обчислення наближеного значення функції у її розкладі у степеневий ряд залишаються перші членів ( - кінцева величина), а інші відкидаються. Для оцінки погрішності знайденого наближеного значення треба оцінити суму відкинутих членів. Якщо даний ряд знакопостійний, то ряд, зіставлений з відкинутих членів, порівнюють із нескінченною спадною геометричною прогресією. У випадку знакозмінного ряду, члени якого задовольняють ознаці Лейбніца, використовується оцінка , де - перший з відкинутих членів.

Приклади.1. Використовуючи розклад у ряд функції , обчислити з точністю 0,0001.

Розв’язок.

Достатньо взяти три члени ряду, тому що Отже

2. Обчислити із точністю до 0,001.

Розв’язок. Тому що 5³ є найближчий до числа 130 куб цілого числа, то доцільно число 130 представити у вигляді суми : 130 = 5³ +5.

Четвертий член менший за 0,001, тому його та слідуючі за ним члени можна відкинути. Отже,

3. Обчислити ln1,04 з точністю до 0,0001.

Розв’язок. Скористаємось розкладом

4. Обчислити з точністю до 0,0001 визначений інтеграл .

Розв’язок. Замінимо у підінтегральному виразі його розкладом у степеневий ряд

Таким чином,

5. Обчислити з точністю 0,001 визначений інтеграл

Розв’язок.

. 0 098.

Розглянемо застосування степеневих рядів для розв’язування диференціальних рівнянь.

У деяких випадках, коли інтегрування диференціальних рівнянь у елементарних функціях неможливо, можна шукати розв’язок такого рівняння у вигляді степеневого ряду

Невизначені коефіцієнти С_n (n =0, 1, 2, …) знаходяться за допомогою підстановки цього ряду у дане рівняння і прирівнювання коефіцієнтів при однакових ступенях різниці х – х₀ у обох частинах одержаної рівності. Якщо удається визначити усі коефіцієнти, то одержаний ряд визначає розв’язок в усій області своєї збіжності.

У тих випадках, коли для рівняння треба розв’язати задачу Коші при початкових умовах розв’язок можна шукати за

допомогою ряду Тейлора:

де а інші похідні знаходяться послідовним диференціюванням даного рівняння і підстановкою замість і т.п. - і значень інших знайдених похідних. Аналогічно за допомогою ряду Тейлора можна інтегрувати і рівняння вищих порядків.

Приклади.

1. = 0.

Розв’язок. Будемо шукати розв’язок цього рівняння у вигляді ряду

. Підставляємо цей ряд і його другу похідну у дане рівняння:

Зберемо члени з однаковими ступенями х:

Прирівнюючи нулю усі коефіцієнти одержаного ряду (щоб рівняння перетворилось у тотожність), маємо:

Останнє співвідношення дозволяє найти послідовно коефіцієнти шуканого розкладу (С₀і С₁ залишаються довільними і грають роль довільних сталих інтегрування):