ЗАСТОСУВАННЯ СТЕПЕНЕВИХ РЯДІВ ДО НАБЛИЖЕНИХ ОБЧИСЛЕНЬ, ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ ФУНКЦІЙ І РОЗВ’ЯЗАННЯ  ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ



Зауважимо, що у цьому розділі корисно мати на увазі формули для розкладу у степеневі ряди функцій 

Для обчислення логарифмів корисна формула

Ряд у правій частині цієї рівності швидко збігається.

    Для обчислення наближеного значення функції  у її розкладі у степеневий ряд залишаються перші  членів (  - кінцева величина), а інші відкидаються. Для оцінки погрішності знайденого наближеного значення треба оцінити суму відкинутих членів. Якщо даний ряд знакопостійний, то ряд, зіставлений з відкинутих членів, порівнюють із нескінченною спадною геометричною прогресією. У випадку знакозмінного ряду, члени якого задовольняють ознаці Лейбніца, використовується оцінка , де - перший з відкинутих членів.

Приклади.1. Використовуючи розклад у ряд функції , обчислити з точністю 0,0001.

 

20

Розв’язок.

 

    Достатньо взяти три члени ряду, тому що Отже

 

    2. Обчислити  із точністю до 0,001.

Розв’язок. Тому що 53 є найближчий до числа 130 куб цілого числа, то доцільно число 130 представити у вигляді суми : 130 = 53 +5.

Четвертий член менший за 0,001, тому його та слідуючі за ним члени можна відкинути. Отже,  

3. Обчислити ln1,04 з точністю до 0,0001.

Розв’язок. Скористаємось розкладом

 

4. Обчислити з точністю до 0,0001 визначений інтеграл .

Розв’язок. Замінимо у підінтегральному виразі  його розкладом  у степеневий ряд

21

                                                              

=

 

Таким чином,

                                                         

5. Обчислити з точністю 0,001 визначений інтеграл

Розв’язок.

 

    .  0 098.

    Розглянемо застосування степеневих рядів для розв’язування диференціальних рівнянь.

    У деяких випадках, коли інтегрування диференціальних рівнянь у елементарних функціях неможливо, можна шукати розв’язок такого рівняння у вигляді степеневого ряду

 

 

Невизначені коефіцієнти Сn (n =0, 1, 2, …) знаходяться за допомогою підстановки цього ряду у дане рівняння і прирівнювання коефіцієнтів при однакових ступенях різниці х – х0 у обох частинах одержаної рівності. Якщо удається визначити усі коефіцієнти, то одержаний ряд визначає розв’язок в усій області своєї збіжності.

У тих випадках, коли для рівняння   треба розв’язати задачу Коші при початкових умовах  розв’язок можна шукати за

22

допомогою ряду Тейлора:

 де  а інші похідні  знаходяться послідовним диференціюванням даного рівняння і підстановкою замість і т.п. -  і значень інших знайдених похідних. Аналогічно за допомогою ряду Тейлора можна інтегрувати і рівняння вищих порядків.

Приклади.

1. = 0.

Розв’язок. Будемо шукати розв’язок цього рівняння у вигляді ряду

 

 . Підставляємо цей ряд і його другу похідну у дане рівняння:

 

 

Зберемо члени з однаковими ступенями х:

2

Прирівнюючи нулю усі коефіцієнти одержаного ряду (щоб рівняння перетворилось у тотожність), маємо:

 

Останнє співвідношення дозволяє найти послідовно коефіцієнти шуканого розкладу (С0 і С1 залишаються довільними і грають роль довільних сталих інтегрування):

 

Таким чином, знаходимо:

    Одержані ряди збігаються на усій числовій осі і визначають два лінійно

незалежних частинних розв’язки  даного рівняння.

23

2. Знайти шість перших, не рівних нулю, членів розкладу у ряд Тейлора розв’язку рівняння   

    Розв’язок. Із даного рівняння і початкової умови одержуємо:

 

 

Диференціюючи дане рівняння, знаходимо послідовно:

 

 

Підставляючи х = 0 і використовуючи значення  знаходимо послідовно:

 

 

    Таким чином, шуканий розв’язок має вигляд:

 

 

3.

 

Знайти перші чотири (відмінних від нуля) члени розкладу .

Розв’язок. Диференціюючи дане рівняння, маємо:

 

При х = 0 одержуємо:

 

Отже

 

24

 

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 2606; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!