Понятие минора k-ого порядка. Ранг матрицы. Понятие базиса в системе строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы (о базисном миноре)

Минором k-ого порядка произвольной матрицы А наз определитель матрицы, составленной из любых k строк и k столбцов матрицы A

Ранг матрицы r(A) – это наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы

Ранг матрицы тесно связан с понятием линейной независимости строк (столбцов) матрицы. Рассмотрим произвольную матрицу А. Обозначим через А_j   – j-ый столбец матрицы А.

Рассмотрим систему S={Ai₁, Ai₂, …, Ai_k} – набор столбцов матрицы А.

Система столбцов S матрицы А, наз линейно-зависимой, если существует набор чисел l₁l₂…l_k среди кот есть отличные от 0, такой, что å_j=1^kl_jAi_j=0

Столбцы, входящие в систему S, наз-ся линейно-зависимыми.

В случае, когда набора чисел l₁l₂…l_k при кот выполняется последнее соотношение не существует, то тогда система S наз линейно-независимой.

Выражение L=å_j=1^kl_jAi_j=l₁ Ai₁ + l₂ Ai₂ + … + l_k Ai_k стоящее в левой части первого выражения наз-ся линейной комбинацией столбцов системы S.

Система столбцов S матрицы А наз базисом системы всех столбцов матрицы А, если:

1) система S линейно-независима

2) любой столбец матрицы А может быть представлен в след виде линейной комбинации столбцов системы S, т.е. для каждого р=1, n

А_p = å_j=1^klj_p Ai_p

Аналогично определяются понятия линейной зависимости-независимости строк матрицы, базиса в системе строк.

Любой отличный от 0 минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы наз её базисным минором

Теорема о ранге (базисном миноре)

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно-независимых ее столбцов (строк), при этом система столбцов (строк) матрицы, содержащая базисный минор образует базис системе всех столбцов (строк)  матрицы

Методы поиска ранга матрицы: метод окаймляющих миноров и метод элементарных преобразований

Метод окаймляющих миноров

Пусть некоторый минор матрицы k-ого порядка М_k¹0, тогда ранг этой матрицы по меньшей мере равен k, т.е. r(A) ³ k . Рассмотрим все окаймляющие (содержащие в себе минор М_k) миноры k+1 порядка. Если все они равны 0, то значит ранг матрицы равен k, но если найдётся хотя бы один M_k+1¹0, тогда процедура повторяется снова

Метод элементарных преобразований

Основан на том, что эл-ые преобразования не изменяют ранга матрицы. Метод заключается в осуществлении последовательности эл-ых преобразований над строками (столбцами) исходной матрицы. В результате все эл-ты становятся равными = за исключением S эл-ов главной диагонали. Следовательно, ранг матрицы равен S.

Св-ва ранга

1) 0≤ r(A) £ min {m,n}

2) r(AВ) £ min {r(A) r(В) }

3) r(A) = r(A^T)= r(AА^т)

4) r(A+В) ≤ r(A) + r(В)

5) ранг произведений некоторой матрицы А слева или справа на невырожденную матрицу подходящего размера равен рангу исходной матрицы. r(AВ)= r(СA) , │В│≠ 0, │С│≠ 0

 

9 СЛУ и формы ее записи (представления): развернутая, матричная и векторная.

СЛУ наз любая конечная совокупность линейных уравнений.

Рассмотрим выражение Аx=b, где

  a₁₁ a₁₂...a_1n

A= a₂₁ a₂₂ ...a_2n       

  a_m1 a_m2 ...a_mn

   b₁

   b₂

b= ....       

   b_m

 

  x₁

  x₂

x= ...   

  x_n

Это выражение, где матрица А- задана, правая часть (b) задана, а вектор-столбец х неизвестен, наз СЛУ в матричной форме представления.

Пользуясь операцией умножения матриц, первое выражение можно представить в виде:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…а_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+...a_2nx_n=b₂

....................................

a_m1x₁+a_m2x₂+...a_mnx_n=b_m

Это выражение представляет собой развернутую форму СЛУ.

Ещё одной формой представления СЛУ явл векторная форма записи:

å_j=1ⁿA_jx_j=b здесь А_j – j-ый столбец матрицы А,

Гл задачей, связанной со СЛУ является задача ее решения.

Решением СЛУ является упорядоченный набор чисел х₁ х₂ … х_n или вектор-столбец

  x₁

  x₂

x= ...    

  x_n

который после подстановки в СЛУ обращает их в тождество.

СЛУ наз совместной если у неё есть хотя бы одно решение в противном случае эта система наз несовместной

Совместная СЛУ наз определённой, если у неё есть только одно решение и неопределённой в противном случае.

2 СЛУ наз эквивалентными или равносильными, если множества их решений совпадают.

Если правая часть СЛУ равна 0 (b=0), то такая СЛУ наз однородной, иначе СЛУ наз неоднородной

 

10 Понятие элементарного преобразования СЛУ и виды элементарных преобразований СЛУ

Элементарное преобразование СЛУ – преобразования (целенаправленные изменения) , кот оставляют СЛУ эквивалентными.

К элементарным преобразованиям относятся следующие:

1) перестановка любых 2ух уравнений местами

2) удаление из СЛУ «пустых» уравнений вида 0х₁+0х₂+…0х_n=0

3) умножение обоих частей в каком-либо ур-ии СЛУ на число l¹0

4) прибавление к какому-либо из уравнению СЛУ др уравнения этой же СЛУ, умноженного на произвольное число l¹0.

Эти эл-ые преобразования удобно представлять в виде эл-ых преобразований строк т.н. расширенной матрицы-системы (A½b), получаемой приписыванием к матрице А справа вектор-столбца b правой части СЛУ.

 

11 Теорема Кронекера-Капелли

Данная теорема отвечает на вопрос о существовании решений СЛУ.

Теорема Кронекера-Капелли СЛУ Ах=b совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы-системы А равен рангу расширенной матрицы-системы: r(A) =r(A½B)

Расширеннаяматрица-система (A½b), получается приписыванием к матрице А справа вектор-столбца b правой части СЛУ.

Следствие: Однородная СЛУ Ах=0 имеет не нулевое решение, тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа её неизвестных

 

12 Метод Крамера решения СЛУ

Этот метод предназначен для решения СЛУ в которых количество уравнений равно числу неизвестных т.е. матрица-система является квадратной.

Метод применяется только для тех СЛУ, где определитель не равен 0.

В основе метода лежит теорема Крамера:

Справедливы утверждения:

1) СЛУ Ах=b имеет единственное решение тогда и только тогда, когда │А│¹0

2) Если │А│¹0, то решение может быть найдено по формуле:

x_j=Д_j (b)/Д

где Д=│А│, Д_j (b)– это определитель матрицы-системы, в кот ее j-ый столбец заменен на столбец правой части b.

 

13 Метод Гаусса решения СЛУ

Основан на том факте, что элементарные преобразования СЛУ дают эквивалентные системы.

Метод Гаусса состоит в последовательной реализации шагов, на каждом из кот производятся следующие действия:

1) Из системы, полученной после предыдущих шагов, удаляются все пустые уравнения вида: 0х₁+0х₂+…0х_n=0

если в оставшейся системе имеется хотя бы одно противоречивое уравнение вида

0х₁+0х₂+…0х_n=b¹0 то исходная СЛУ несовместна, т.е. не имеет решений.

2) Пусть противоречивых уравнений нет. Тогда 1 из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных – за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие требования:

а) на предыдущих шагах выбранное уравнение не было разрешающим

б) в разрешающем уравнении коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от 0. Этот коэффициент наз разрешающим элементом

3) Разрешающая неизвестная исключается из всех уравнений кроме разрешающего. Для этого разрешающее уравнение прибавляется к каждому из уравнений СЛУ после умножения на подходящее число.

Преобразования заканчиваются, если ни одно из уравнений не может быть взято за разрешающее (все они перебывали в этой роли). Те неизвестные, которые в процессе преобразований были разрешающими наз базисными. Те неизвестные, которые не были разрешающими наз свободными.

Если число уравнений финальной СЛУ равно числу неизвестных, то тогда все эти неизвестные побывали в числе разрешающих и исходная СЛУ имеет единственное решение, непосредственно вытекающее из финальной СЛУ.

В случае, когда число уравнений финальной системы меньше числа неизвестных, то тогда те неизвестные, которые не были в качестве разрешающих, объявляются свободными и могут принимать любые значения.

Неизвестные, которые побывали в качестве разрешающих наз базисными. Значения базисных переменных полностью определяются свободными и непосредственно вытекают из финальной СЛУ.

Замечания:

1) Реализация метода Гаусса даёт ответ на вопрос о совместности системы. Система совместна тогда и только тогда, когда при реализации метода Гаусса не возникает противоречивых уравнений

2) В процессе преобразований Гаусса допускаются промежуточные преобразования СЛУ.

3) В любой момент преобразования Гаусса м.б. остановлены. Текущая система м.б. рассмотрена в качестве исходной и преобразования м.б. возобновлены по другой схеме.

 

14 Балансовая модель Леонтьева

Применяется для решения различных задач, связанных с экономикой нескольких отраслей.

Необходимыми условиями для применения модели являются: 1) неизменность структурных связей отраслей экономики; 2) отсутствие революционных изменений в технологиях пр-ва отраслей.

Рассмотрим экономику из n взаимосвязанных отраслей. Обозначим через x_i (i=1,n) объем валового выпуска i-ой отрасли за некоторый период в условных единицах. Через z_ij обозначим количество продукции i-ой отрасли, которой за тот же период было потреблено j-ой отраслью.

Если экономика находится в стабильном состоянии, то должно выполняться уравнение баланса:

x₁=z₁₁+z₁₂+...+z_1n+y₁

x₂=z₂₁+z₂₂+...+z_2n+y₂

..................................              (1)

x_n=z_n1+z_n2+...+z_nn+y_n

Леонтьев предположил, что величины z_ij взаимных потреблений отраслей явл-ся линейными функциями пр-ва и опис-ся как:

(2) z_ij=a_ij*x_j, где a_ij – структурный коэффициент, содержательно означающий количество продукции i-ой отрасли (в усл ед), кот необходимо затратить для пр-ва единицы продукции j-ой отрасли. Матрица А = (a_ij), эл=ты кот – структурные коэф-ты наз-ся структурной матрицей.

Структурная матрица и определяет структуру взаимодействия всех отраслей эк-ки.

Подстановка (2) в (1) дает:

x₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n+y₁

       (3)       x₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n+y₂

x_n=a_n1x₁+a_n2x₂+...+a_nnx_n+y_n

Пусть:

   x₁

х= … - вектор валового выпуска отраслей

   x_n

   y₁

у= ... – вектор конечного продукта отраслей

   y_n

тогда систему (3) можно записать в компактом виде х=Aх+у – балансовая модель Леонтьева. C помощью этой модели можно решать множество прикладных задач экономики.

 

15 Понятия точки, радиус-вектора точки в многомерном пространстве. Понятие вектора, его модуля, скалярного произведения векторов. Формула, определяющая угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.

Точка – абстрактный объект, хар-ся только расположением.

Любая точка Х хар-ся в плоскости двумя числами (х₁,х₂) наз координатами этой точки.

Направленный отрезок из начала координат в точку Х – радиус-вектор этой точки. Его длина или модуль есть число ½х½=Öх₁²+х₂² . любой направленный отрезок в плоскости, имеющий такой же модуль и направление наз вектором х.

Компоненты вектора х₁ и х₂ определяют положение точки Х на плоскости, если начало вектора х совпадает с началом координат. В подробной записи вектора отображают матрицами вектор-столбца х^т=(х₁ х₂).

Для векторов определены операции умножения их на число, сложения. При этом для двумерных векторов удобны геометрические схемы для операций сложения(умножения) на число. 

Операции скалярного умножения опред-ся след образом:

<х,у> = х₁у₁ + х₂у₂

<х,у> = х^ту

Углом j_xy  м/у векторами 2-мерного пространства  наз угол, опред-ый по формуле:

j_xy  = arcos (<х,у>  /½x½½y½)= arcos ( x₁y₁+x₂y₂ / Öх₁²+х₂² * Öу₁²+у₂²)

Аналогично точкой в n-мерном пространстве наз-ся объект, характ-емый набором чисел (x₁,x₂,...x_n). эти числа наз координатами точки. Точка, все координаты кот равны 0 наз точкой начала координат.

Направленный отрезок, соединяющий начало координат с координатой (x₁,x₂,...x_n) наз радиус-вектором этой точки. Запись х Î Rⁿ указывает, что это радиус-вектор, имеющий n-компонент (направленный отрезок в n-мерном пространстве).

По определению модулем (длиной) вектора х наз число, определенное по формуле: ½х½=Öå_i=1ⁿx_i²

Углом j_xy между векторами n-мерного пространства наз угол:

j_xy  = arcos (<х,у> /½x½½y½) = arcos (å_i=1ⁿx_iy_i / Öå_i=1ⁿx_i²*Öå_i=1ⁿy_i²)

2 вектора х, у Î Rⁿ наз ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно 0, т.е. <х,у> = 0.

Элементы векторного пространства Rⁿ можно интерпретировать как точки и как радиус-векторы, направленные отрезки из начала координат в эти точки, поэтому далее под фразой «xÎRⁿ» будем понимать точку n-мерного пространства с радиус-вектором х.

Введём понятие отрезка в n-мерном пространстве.

Любая точка P на отрезке XY может быть представлена соответствующим радиус-вектором,

Z_p=x+l(y-x), где lÎ[0,1]. Эта формула наз формулой отрезка и м.б. переписана в след виде:

z_p=(1-l)x+ly, где lÎ[0,1]

Эти формулы без всяких изменений переносятся на n-мерные пространство.

 

16 Понятие линейной комбинации и выпуклой линейной комбинации векторов. Понятия линейной независимости и линейной зависимости векторов. Понятие базиса и канонического базиса в Rⁿ. Понятие отрезка, соединяющего две точки в Rⁿ. Формула отрезка.

Система S={x₁,x₂...x_k} где x_iÎRⁿ i=1,k n-мерных векторов наз линейно-зависимой, а вектора этой системы линейно-зависимыми, если существуют числа l₁,l₂,…l_k ÎR¹ среди кот есть отличные от 0, такие что: å_i=1^kl_ix_i=0     (1)

В противном случае система S наз линейно-независимой, а образующие её вектора линейно- независимыми векторами.

Выражение L=å_i=1^kl_ix_i (2) наз линейной комбинацией векторов системы S.

Если числа l_i  выражения (1) удовлетворяют требованию l_i ≥ 0 (i=1,k) и å_i=1^kl_i=1, то тогда выражение (2) наз выпуклой линейной комбинацией.

Система S={x₁,x₂...x_k} наз базисом в пространстве Rⁿ, если выполняются следующие условия:

1) х_i ÎRⁿ

2) Система S линейно-независима

2) Любой вектор yÎRⁿ м.б. представлен в виде линейной комбинации векторов системы S

Система векторов {e₁,e₂,...e_n}, где:

e₁^T=(1,0...0); e₂^T=(0,1,...0); ...............; e_n-1^T=(0,0,...0,1,0); e_n^T=(0,0,...0,1) наз каноническим базисом n-мерного пространства

Отталкиваясь от плоскости введём понятие отрезка в n-мерном пространстве.

Любая точка P на отрезке XY может быть представлена соответствующим радиус-вектором,

Z_p=x+l(y-x), где lÎ[0,1]. Эта формула наз формулой отрезка и м.б. переписана в след виде:

z_p=(1-l)x+ly, где lÎ[0,1]

Эти формулы без всяких изменений переносятся на n-мерные пространство.

 

17 Понятие выпуклого множества. Теорема о пересечении выпуклых множеств. Понятие гиперплоскости в Rⁿ. Понятие полупространства.

Множество точек n-мерного пространства содержащие все точки отрезка соединяющего любые 2 точки этого множества наз выпуклым множеством

Теорема о пересечении выпуклых множеств

Пересечение любого числа выпуклых множеств явл выпуклым множеством.

Множество точек xÎRⁿ удовлетворяющих условию c^Tx=b, где bÎRⁿ - некоторое фиксированное число, наз гиперплоскостью в n-мерном пространстве

Уравнение c^Tx=b наз уравнением гиперплоскости

Теорема о разделяющей гиперплоскости

Любая гиперплоскость разделяет все пр-во Rⁿ на 2 непересекающихся множества p₁ и p₂, наз полупространствами: p₁={xÎRⁿ:c^Tx£b}, p₂={xÎRⁿ:c^Tx>b}

18 Теорема о разделяющей гиперплоскости. Теорема о выпуклости полупространства. Понятие выпуклого многогранника.

Теорема о разделяющей гиперплоскости

Любая гиперплоскость разделяет все пр-во Rⁿ на 2 непересекающихся множества p₁ и p₂, наз полупространствами: p₁={xÎRⁿ:c^Tx£b}, p₂={xÎRⁿ:c^Tx>b}

Теорема о выпуклости полупространства

Полупространство явл выпуклым множеством.

По теореме о пересечении выпуклых множеств пересечения конечного числа полупространств явл выпуклым множеством и наз выпуклым многогранником

 

19 Понятие системы линейных неравенств. Графический метод решения системы линейных неравенств.

Система с₁^тх £b₁

            с₂^тх £b₂

             ……..

            с_n^тх £b_n     наз системой линейных неравенств

здесь с₁ с₂ … с_n ÎRⁿ ; b₁ b₂ … b_nÎRⁿ фиксированы.

Множество точек xÎRⁿ, удовлетворяющих этой системе, наз решением системы линейных неравенств.

В случае малой размерности (когда n £ 3) для системы лин нер-в можно рименять графический метод ее решения.

В основе метода лежат теоремы о разделяющей гиперплоскости и о выпуклости полупространства.

Суть:

1) для каждого i-ого неравенства с_i^тх £b_i  строится графическим образом плоскость (n=3) или прямая (n=2), получаемая заменой знака неравенства на знак равенства. Такая плоскость (прямая) наз критической. Она разделяет все пространство на область «хороших», удовлетворяющих неравенству точек и «плохих».

2) проводится подстановка любой точки, не лежащей на критической прямой, в текущее неравенство, тем самым определяется область «хороших» и «плохих» точек.

3) после выявления «хороших» полупространств для каждого неравенства производится их пересечение.

 

20 Постановка задачи математического программирования (ЗМП). Разновидности ЗМП

ЗМП или оптимизационной задачей наз задача вида: f(x)®max(min) xÎДÌRⁿ, где f(x) – целевая функция, ДÌRⁿ – область допустимых значений

Решить ЗМП - либо найти все такие x^*ÎД : f(x^*)³f(x) (f(x^*)£f(x)) "xÎД, либо установить неразрешимость поставленной задачи

"xÎД наз допустимым решением (планом ЗМП)

"x^* уд-щее условию x^*ÎД : f(x^*)³f(x) (f(x^*)£f(x)) наз оптимальным решением (планом) задачи.

В качестве целевой функции f(x) могут выступать функции, выражающие прибыль, объём производства, затраты, потери и т.д. Область допустимых решений Д как правило задается системой уравнений и неравенств.

Разновидности ЗМП:

1) В случае, когда область ограничений совпадает с областью определения целевой функции имеет ЗМП без ограничений: f(x)®max(min) xÎ Rⁿ

2) Если область ограничений задается системой уравнений, то такая ЗМП наз ЗМП канонической формы (ЗМП с ограничением равенства): f(x)®max(min)

g₁(x)=b₁

g₂(x)=b₂

………

g_m(x)=b_m

3) Если область ограничений задается системой неравенств, то такая ЗМП наз ЗМП с ограничениями-неравенствами: f(x)®max(min)

g₁(x) ≤ b₁

g₂(x) ≤ b₂

………..

g_m(x) ≤ b_m

4) ЗМП со смешанными ограничениями имеет вид: f(x)®max(min)

g₁(x)=b₁

……….

g_m(x)=b_m

h₁(x) ≤ b₁

………..

h_k(x) ≤ b_k

 

21 Понятия эпсилон-окрестности точки, предельной точки, замкнутого множества, ограниченного множества, точки локального (глобального) и условного (безусловного) экстремума.

Множество ДÌRⁿ наз ограниченным множеством, если расстояние ρ(х,у) = ½х-у½ между 2 любыми точками х и у ÎД меньше некоторого числа l < ∞, т.е. если "х,уÎД ρ(х,у) = √å_i=1ⁿ(x_i-y_i)² < l < ∞

Эпсилон-окрестностью O_e(z) точки zÎRⁿ наз множество точек, отстоящих от z менее чем на e, т.е. O_e(z)={ хÎRⁿ : ρ(х,z) < e}

Точка zÎRⁿ наз предельной точкой множества Д, если есть последовательность принадлежащих множеству Д точек x_nÎД, предел кот равен точке z: lim_n→∞x_n=z.  

Множество Д наз замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки (отрезок)/

Незамкнутое множество – это интервал, в кот не входят крайние точки.

Множество Д наз компактным множеством, если оно одновременно ограничено и замкнуто

Точка xÎД наз внутренней точкой множества Д если $ e>0 : O_e(x)ÌД В противном случае точка наз граничной точкой множества Д

Точка z ÎД наз точкой условного локального max(min) функции f(x) в области Д если существует эпсилон-окрестность точки z, такая что "xÎO_e(z)ÇД f(x)≤f(z) – для max (f(x)≥f(z) – для min)

Точка zÎД наз точкой условного глобального max(min), если f(x)≤f(z) "xÎД (f(x)≥f(z) "xÎД)

Экстремум функции f(x) – это либо ее max, либо ее min.

Говорят, что функция f(x) имеет в точке zÎД локальный (глобальный) безусловный экстремум если точка z является точкой локального (глобального) max или min во всей области определения функции f(x).

 

22. Понятия частной производной функции, стационарной точки функции, градиента и матрицы Гессе.

Частной производной f’x_j(z) = df(z)/dx_j первого порядка функции f(x) в точке z по переменной x_j наз величина: f’x_j(z) = lim_D®0 (f(z₁,z₂,…, z_j-1, z_j+Dj, z_j+1,…z_n)-f(z))/Dj \

Т.о. частная производная функции f(x) по переменной x_j определяется точно так же как обычная производная по переменной x_j при условии, что все другие переменные при этом являются const.

Говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке zÎRⁿ, если у неё в этой точке существуют все частные производные 1ого порядка по всем аргументам.

Говорят, что функция f(x) непрерывно дифференцируема в точке zÎRⁿ, если все ее частные производные 1ого порядка непрерывны.

Точка zÎRⁿ наз стационарной точкой функции f(x), если все частные производные 1ого порядка равны 0, т.е. f’x_j(z) = 0.

Частной производной второго порядка f”x_ix_j(z) = ¶²f(z)/¶x_i¶x_j функции f(x) в точке z наз частная производная первого порядка от частной производной первого порядка.

Квадратная матрица H_nxn=(h_ij)_nxn наз матрицей Гессе функции f(x) в точке z, если ее элементы определяются: h_ij= f”x_ix_j(z).

Выражение G (H, x) = x^T Hx = ∑_i=1ⁿ∑_j=1ⁿ h_ij x_i x_j наз квадратичной формой матрицы H_nxn=(h_ij)_nxn

Градиентом Ñf(x) функции f(x) в точке z наз вектор, компонентами кот являются частные производные 1ого порядка функции Ñ^Tf(z)=(f’x₁(z), f’x₂(z)_,… , f’x_n(z))

 

23 Понятие квадратичной формы матрицы. Понятие положительной (отрицательной) определённости матрицы

Выражение G (H, x) = x^T Hx = ∑_i=1ⁿ∑_j=1ⁿ h_ij x_i x_j наз квадратичной формой матрицы H_nxn=(h_ij)_nxn

Квадратная матрица Н наз положительно (неотрицательно) определённой, если справедливо соотношение "x¹0 G(Н,x) >0 .

Квадратная матрица Н наз отрицательно (неположительно) определённой, если справедливо соотношение "x¹0 G(Н,x) <0

Матрица Н наз неопределенной матрицей, если приведенное выше соотношение не выполняется.

 

---

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 744; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!