Понятие m-мерной вектор-функции и матрицы Якоби m-мерной вектор-функции

Функция g(x) наз m-мерной вектор-функцией,если ее значения представляют собой m-мерные вектора, т.е. g(x)=g₁(x)

g₂(x)

……

g_m(x)

М-цей Якоби Rg(z) вектор-функции g(x) в точке z наз матрица Rg(z) = (rij)_m_×_n, эл-ты кот определяются как: r_ij=¶g_i(z)/¶x_j (i=1,m; j=1,n)

Понятие производной по направлению. Теорема о производной по направлению.

Пусть UÎRⁿ,произвольный вектор единичной длины, т.е. ½U½=1

Производной ф-ии f(x) в т. z по напр-ию вектора U наз величина

¶f(z)/¶U=lim_t_®_{0 (t>0)} (f(z+tU)-f(z))/t

По сути ¶f(z)/¶U – это скорость изменения функции f(x) в точке z по направлению вектора U

Теорема о производной по направлению

Производная функции f(x) в точке z по направлению вектора U м.б. найдена по формуле:

¶f(z)/¶U=Ñ^Tf(z)*U =å_i₌₁ⁿf’x_i(z)*U_i

Понятие градиента функции. Теорема о градиенте

Градиентом Ñf(x) функции f(x) в точке z наз вектор, компонентами кот являются частные производные 1ого порядка функции Ñ^Tf(x)=(¶f(x)/¶x₁, ¶f(x)/¶x_2,… ¶f(x)/¶x_n)

Теорема о градиенте

Градиент Ñf(z) функции f(x) в точке z указывает направление наискорейшего роста функции f(x) в точке z, при этом max скорость роста функции равна модулю градиента:

max ¶f(z)/¶U=|Ñf(z)|

^U^Î^Rn

^|^U^|⁼¹

Понятия множества уровня функции, касательной гиперплоскости к множеству уровня функции, вектора нормали к гиперплоскости.

Пусть bÎRⁿ-нек-е число.

Множеством уровня β функции f(x) наз множество всех точек xÎRⁿ, удовлетворяющих условию f(x)= β

В плоском (двумерном) случае когда n=2, множ-во уровня β наз линией.

В случае n=3 - поверхностью уровня β.

Касательной гиперплоскости к множеству уровня β функции f(x) в точке y из этого множества наз множество всех точек xÎRⁿ удовлетворяющих уравнению:

Ñ^Tf(y)*(x-y) = 0 (1)

при =2, касательная гиперплоскости является касательной к прямой.

при =3, обычной плоскостью.

Вектором нормали (нормалью) к гиперплоскости, задаваемой уравнением c^Tx=b, наз вектор c.

Вектор нормали ортогонален любому отрезку, лежащему в гиперплоскости. В случае n=2 и n=3 ортогональность означает перпендикулярность

Из уравнения (1) следует, что градиент Ñf(y) функции f(x) является нормалью к касательной гиперплоскости к множеству уровня β = Ñ^Tf(y)*у

Разложение Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Пусть k^т = (k₁, k₂, … , k_m) – это вектор с целочисленными неотрицательными компонентами. Обозначим через [k] сумму его компонентов, т.е. [k] = k₁+ k₂+ … + k_m

Говорят, что функция φ₁(х) есть «О малое» по сравнению с φ₂(х) при х→0, если справедливо условие:

lim_x_→0 (φ₁(х) / φ₂(х) ) = 0

Это соотношение означает, что φ₁(х) пренебрежительно мала по сравнению с φ₂(х) при х→0.

Расширенной записью этого является следующая: φ₁(х) = 0* (φ₂(х)). Это выражение означает, что φ₁ есть «О малое» по сравнению с φ₂.

Пусть f(x) - некоторая функция, где xÎRⁿ. Предположим, что эта функция дифференц-а в некоторой окрестности O_e в точке yÎRⁿ, причем имеет все частные производные вплоть до производных (m+1) порядка. Тогда справедлива формула Тейлора:

f(x)=å_[_k_]=0^m 1/m! * (¶^[^k^]f(y)/¶x₁^k¹¶x₂^k²…¶x_n^kn) * (x₁-y₁)^k¹ (x₂-y₂)^k²… (x_n-y_n)^kn +0 (½x-y½^m) (1)

Величина 0(½x-y½^m) - остаточный член в форме Пеано.

Т.е. формула (1) есть разложение Тейлора функции f(x) в точке у с точностью до производных m-ого порядка с остаточным членом в форме Пеано.

В частности разложение Тейлора функции f(x) в точке y с точностью до производных 2ого порядка есть:

f(x)=f(y)+Ñ^Tf(y)(x-y)+1/2 * (x-y)^T H(y)(x-y)+0(½x-y½)² где H(y) – матрица Гессе ф-ии f(x) в точке y

В одномерном случае при n=1 формула Тейлора принимает вид:

f(x)=å_k₌₀^m1/k! * f^[k](y)(x-y)^k + 0 (½x-y½)^m

Теорема о необходимых условиях экстремума. Теорема о достаточных условиях экстремума. Теорема об условиях определенности матрицы (Критерий Сильвестра)

Теорема о необходимых условиях экстремума

Пусть функция f(x) имеет в точке x^* экстремум, тогда все ее частные производныеые первого порядка в этой точке равны 0, т.е. x^*является стационарной точкой:

¶f(x^*)/¶x_i = f ’x_i = 0,

Это соотношение эквивалентно Ñf(x^*)=0

Теорема о достаточных условиях экстремума.

Пусть функция f(x) имеет непрерывные производные 2-го порядка в стационарной точке x^*, тогда точка x^* является точкой мах, если матрица Гессе Н(x^*) функции f(x) в т. x^* отрицательно определена, и точкой min,если матрица Н(x^*) положительно определена.

Теорема об условиях определённости матрицы.

Справедливы утверждения:

1)квадратная матрица положительно определена <=> когда все ее главные (угловые) миноры положительны

2) квадратная матрица отрицательно определена <=> когда знак любого ее главного (углового) минора каждого порядка совпадает со знаком (-1)^К

30 Классический метод поиска экстремума функции без ограничений (схема реализации)

Метод применяется для решения задачи f(x)→max (min) и состоит в выполнении 2 шагов.

Шаг1. Определяются все стационарные точки целевой функции f(x) для чего решается система уравнений ¶f(x^*)/¶x_i = f ’x_i = 0 или уравнение Ñf(x^*)=0.

Шаг2. В найденных стационарных точках вычисляются матрицы Гессе и устанавливаются типы определенности этих матриц. Для определения типа определенности используется Теорема об условиях определенности матриц (Критерий Сильвестра). После определения определенности матрицы Гессе устанавливается тип экстремума с помощью теоремы о достаточных условиях экстремума.

!!! Если при реализации классического метода матрица Гессе не явл ни положительно, ни отрицательно определённой в какой-либо стационарной точке то, скорее всего, экстремума в этой точке нет. НО для исчерпывающего ответа необходимо более детальное исследование f(x) в текущей стационарной точке (например, разложение Тейлора и анализ производных по всем возможным направлениям).

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 415; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!