Алгебраическое дополнение и минор



Существует 2 принципиально различных понятия минора – минор К-ого порядка и минор элемента матрицы.

Минором k-ого порядка произвольной матрицы А наз определитель матрицы, составленной из любых k строк и k столбцов матрицы A

Главным минором К-ого порядка (угловым) матрицы A наз определитель матрицы составленный из k 1ых строк и k 1ых столбцов матрицы A

Минором Мij элемента аij матрицы А наз определитель матрицы А, полученный вычёркиванием j-ого столбца i-ой строки, содержащих эл-т aij. (Он существует только для квадратных матриц).

Рассмотрим определитель матрицы А │A│‌‌=∑i1=1ni2=1n...∑in=1 n = a1i1*a2i2*….*anin*(-1)I (i1, i2, … , in) (i1≠i2≠…. ≠in). Выберем все слагаемые включающие элемент аkl и вынесем этот элемент за скобку, выражение стоящее в скобках наз алгебраическим дополнением элемента аkl матрицы А и обозначается Аkl

Теорема (о связи алгебраического дополнения и минора)

Минор Мij и алгебраическое дополнение Аij эл-та аij связаны  следующим соотношением:  

Аij=(-1)i+jMij

Т.о. алгебраическое дополнение либо совпадает с минором Мij либо равен – Mij в зависимости от того является ли сумма i+j чётным числом или нечётным

Теорема о разложении определителя по строке (столбцу). Теорема об умножении определителей.

Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения

½А½=åi=1naijAij – по j-ому столбцу

½А½=åj=1naijAij – по i-ой строке

Следовательно – выражение для вычисления определителя разложением по столбцу:

½А½=åi=1n (-1)i+j aij Mij    По строке:  ½А½=åj=1n (-1)i+j aij Mij

 

Теорема об умножении определителей

Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц.

½АВ½=½А½*½В½

Понятие обратной матрицы. Теорема об обратной матрице

Пусть задана квадратная матрица Аn*n. Матрица Вn*n такая, что А*В=В*А=Е наз обратной к матрице А и обозначается А-1

А-1 *А=А*А-1

Теорема об обратной матрице

Справедливы утверждения:

1) Матрица А имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда определитель матрицы А не равен 0 (½А½¹0)

2) Если обратная матрица существует, то ее можно найти по формуле:

А-1= (1/½А½)*А*

Где А* является союзной матрицей и определяется по формуле

А*=(Аij)т, т.е. элементами союзной матрицы являются элементы транспонированной матрицы алгебраических дополнений

По теореме о связи минора и алгебраических дополнений обратная матрица равна

А-1=(1/½А½)*((-1)i+jMij)т

Методы поиска обратной матрицы: метод союзной матрицы и метод элементарных преобразований.

Метод союзной матрицы.

Обратная матрица методом союзной матрицы находится по формуле:

А-1= (1/½А½)*А*

Где союзной является матрица: А*=(Аij)т

Суть метода:

1) поиск алгебраических дополнений всех элементов исходной матрицы Аij=(-1)i+jMij и составление из них союзной матрицы А*.

2) находится обратная матрица А-1 по формуле А-1= (1/½А½)*А*

Поиск обратной матрицы методом элементарных преобразований

Обоснование метода: основан на том факте, что любая невырожденная (определитель матрицы ≠ 0) матрица с помощью конечной последовательности элементарных преобразований над ее строками (столбцами) м.б. приведена к единичной матрице. Согласно теореме о представлении элементарных преобразований матрицы операциями умножения это означает, что справедливо выражение:

Lk Lk-1…L1*A=E

Где А – исходная матрица, L1, L2, …, Lk – матрицы специального вида, умножение на которые реализует соответствующие элементы преобразований.

Т.к. матрица А по условию не вырожденная, то у нее есть обратная матрица А-1.

Умножим обе части выражения справа на А-1:

Lk Lk-1…L1*A*А-1=E*А-1

Lk Lk-1…L1*Е=А-1

Полученное выражение означает, что те же самые элементы преобразования над единичной матрицей приводят ее к обратной.

Суть:

Шаг1. Записывается т.н. двойная матрица, получаемая приписыванием справа к исходной матрице А единичной того же размера (А½Е)

Шаг2. Над строками полученной двойной матрицы выполняются элементарные преобразования т. о, чтобы на месте исходной матрицы А получить единичную. Тогда месте единичной матрицы в двойной матрице будет сформирована искомая обратная матрица.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 832; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!