Алгебраическое дополнение и минор
Существует 2 принципиально различных понятия минора – минор К-ого порядка и минор элемента матрицы.
Минором k-ого порядка произвольной матрицы А наз определитель матрицы, составленной из любых k строк и k столбцов матрицы A
Главным минором К-ого порядка (угловым) матрицы A наз определитель матрицы составленный из k 1ых строк и k 1ых столбцов матрицы A
Минором Мij элемента аij матрицы А наз определитель матрицы А, полученный вычёркиванием j-ого столбца i-ой строки, содержащих эл-т aij. (Он существует только для квадратных матриц).
Рассмотрим определитель матрицы А │A│=∑i1=1n∑i2=1n...∑in=1 n = a1i1*a2i2*….*anin*(-1)I (i1, i2, … , in) (i1≠i2≠…. ≠in). Выберем все слагаемые включающие элемент аkl и вынесем этот элемент за скобку, выражение стоящее в скобках наз алгебраическим дополнением элемента аkl матрицы А и обозначается Аkl
Теорема (о связи алгебраического дополнения и минора)
Минор Мij и алгебраическое дополнение Аij эл-та аij связаны следующим соотношением:
Аij=(-1)i+jMij
Т.о. алгебраическое дополнение либо совпадает с минором Мij либо равен – Mij в зависимости от того является ли сумма i+j чётным числом или нечётным
Теорема о разложении определителя по строке (столбцу). Теорема об умножении определителей.
Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).
Определитель равен сумме произведений всех элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения
|
|
½А½=åi=1naijAij – по j-ому столбцу
½А½=åj=1naijAij – по i-ой строке
Следовательно – выражение для вычисления определителя разложением по столбцу:
½А½=åi=1n (-1)i+j aij Mij По строке: ½А½=åj=1n (-1)i+j aij Mij
Теорема об умножении определителей
Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц.
½АВ½=½А½*½В½
Понятие обратной матрицы. Теорема об обратной матрице
Пусть задана квадратная матрица Аn*n. Матрица Вn*n такая, что А*В=В*А=Е наз обратной к матрице А и обозначается А-1
А-1 *А=А*А-1 =Е
Теорема об обратной матрице
Справедливы утверждения:
1) Матрица А имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда определитель матрицы А не равен 0 (½А½¹0)
2) Если обратная матрица существует, то ее можно найти по формуле:
А-1= (1/½А½)*А*
Где А* является союзной матрицей и определяется по формуле
А*=(Аij)т, т.е. элементами союзной матрицы являются элементы транспонированной матрицы алгебраических дополнений
По теореме о связи минора и алгебраических дополнений обратная матрица равна
А-1=(1/½А½)*((-1)i+jMij)т
Методы поиска обратной матрицы: метод союзной матрицы и метод элементарных преобразований.
|
|
Метод союзной матрицы.
Обратная матрица методом союзной матрицы находится по формуле:
А-1= (1/½А½)*А*
Где союзной является матрица: А*=(Аij)т
Суть метода:
1) поиск алгебраических дополнений всех элементов исходной матрицы Аij=(-1)i+jMij и составление из них союзной матрицы А*.
2) находится обратная матрица А-1 по формуле А-1= (1/½А½)*А*
Поиск обратной матрицы методом элементарных преобразований
Обоснование метода: основан на том факте, что любая невырожденная (определитель матрицы ≠ 0) матрица с помощью конечной последовательности элементарных преобразований над ее строками (столбцами) м.б. приведена к единичной матрице. Согласно теореме о представлении элементарных преобразований матрицы операциями умножения это означает, что справедливо выражение:
Lk Lk-1…L1*A=E
Где А – исходная матрица, L1, L2, …, Lk – матрицы специального вида, умножение на которые реализует соответствующие элементы преобразований.
Т.к. матрица А по условию не вырожденная, то у нее есть обратная матрица А-1.
Умножим обе части выражения справа на А-1:
Lk Lk-1…L1*A*А-1=E*А-1
Lk Lk-1…L1*Е=А-1
Полученное выражение означает, что те же самые элементы преобразования над единичной матрицей приводят ее к обратной.
|
|
Суть:
Шаг1. Записывается т.н. двойная матрица, получаемая приписыванием справа к исходной матрице А единичной того же размера (А½Е)
Шаг2. Над строками полученной двойной матрицы выполняются элементарные преобразования т. о, чтобы на месте исходной матрицы А получить единичную. Тогда месте единичной матрицы в двойной матрице будет сформирована искомая обратная матрица.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 832; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!