Определители. Определение и свойства определителей

Матрицы. Виды матриц

Числовой матрицей А_m_*_n наз прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов

Числа, определяющие матрицу наз её элементами

а_ij матрицы находится в i-ой строке и j-ом столбце, номера которых указывают индексы элементов: i-индекс строки, j-индекс столбца

Говорят, что матрица A_m_*_n имеет размер m*n Если размер матрицы ясен из контекста, то индекс её размера опускается и т.о. матрицы обозначаются прописными буквами A,B,C…

Специальные матрицы

Матрица, имеющая 1 строку и 1 столбец наз матрицей-скаляром

Матрица, имеющая только 1 строку наз вектор-строкой

Матрица, имеющая только 1 столбец наз вектор-столбцом. А транспон-ся в вектор-строку с помощью операции трансп-ия и обозн-ся А^т

Матрица, у которой число строк и столбцов совпадает называют квадратной. Элементы квадратной матрицы, лежащие на линии, проведённой из левого верхнего угла в правый нижний угол называют элементами главной диагонали. Элементы квадратной матрицы лежащие на линии проведённой из верхнего правого угла в левый нижний угол наз элементами побочной диагонали. У элементов главной диагонали, индексы столбца и строки совпадают между собой:

Произвольная матрица, все элементы которой равны 0 наз нулевой матрицей и обозначается O

Квадратная матрица, все элементы которой равны 0, за исключением элементов главной диагонали, которые равны1 наз единичной матрицей и обозначается E.

Операции над матрицами

1) Операции сравнения.

Матрицы А и В равны (А=В), если они имеют одинак размер, а все их соответств-ие элементы равны м/у собой a_ij= b_ij (i=1,m, j=1,n)

Говорят, что матрица A больше (> < ≤ ≥) матрицы B, если матрицы имеют одинаковый размер и при этом a_ij>b_ij (i=1,m, j=1,n) (> < ≤ ≥)

2) Операция сложения определена для любых двух матриц, имеющих одинаковый размер. Суммой С матриц А,В наз матрица А+В элементы которой определены соотношением: c_ij=a_ij+b_ij i=1,m j=1,n

Свойства:

А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С)

3) Умножение матриц на число любая матрица А может быть умножена на произвольное число k, как слева так и справа в результате получается матрица С=kА=Аk, элементы которой определяются соотношением c_ij=ka_ij (i=1,m j=1,n)

4) Операция вычитания определена для матриц одинакового размера. Разностью С=А-В матриц А и В наз матрица С=А+(-1)В, где эл-ты равны c_ij= a_ij – b_ij (i=1,m, j=1,n)

5) Операция произведения матриц. Произведение матриц С=А*В определено тогда и только тогда, когда количество столбцов левого сомножителя равно числу строк правого сомножителя, в результате получаем матрицу С=А*В, которая имеет столько строк, сколько левый сомножитель и столько столбцов, сколько правый сомножитель. Элементы произведения матриц определяются по формуле: с_ij=∑_k₌₁ⁿa_ik*b_kj,

Свойства

(А*В)С=А(ВС)

(А+В)С=АС+ВС

С(А+В)=СА+СВ

А*Е=Е*А=А

А*0=0*А=0

А*В≠В*А

Матрица для которой А*В=В*А наз коммутативным или перестановочными

6) Операция возведения матрицы в степень определена для квадратных матриц. Пусть k- любое целое неотриц число. k-ой степенью А^k матрицы А наз матрица, опред-ая след-им образом:

E, если k=0

A^k=

A^k^-1*A, k>0

Свойства:

А^k*A^p=A^k⁺^p

(А^k)^p=A^kp

7) Операция транспонирования определена для любых матриц. Пусть А_mxn произвольная матрица. Рассмотрим матрицу В_nxm эл-ты кот как b_ji=a_ij (i=1,m, j=1,n) Матрица В, опред-ая то наз транспонир-ой матрицей А и запис-ся А^т. При трансп-ии матрицы ее строки стан-ся столбцами, а столбцы – строками трансп-ой матрицы.

Свойства:

(А+В)^т= А^т+В^т

(А*В)^т = В^т*А^т

(А^т)^т = А

В специальный класс операций над матрицами выделяются следующие операции, называемые элементарными преобразованиями матриц:

1) умножение строки (столбца) матрицы на число ≠ 0

2)прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой её строки (столбца), умноженных на произвольное число

3) перестановка строк (столбцов) матриц местами.

!!! Любое элементарное преобразование матрицы может быть осуществлено последовательностью операций произведения этой матрицы на матрицы специального вида.

Теорема о представлении элементарных преобразований матриц операциями их умножения.

Справедливы следующие утверждения:

1) умножение i-ой строки матрицы А_mxn на число a эквивалентно операции умножения L*A, где L – это квадратная матрица вида

(i)

1……….

…1…….

L₍_i₎=…… a…

…….….

…………1 n*n

2) Прибавление к i-ой строке матрицы А_mxn ее j-ой строки, умноженной на число a, эквивалентно операции умножения L*A, где L –

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

L₍_i₎=0 0 1… 0 0

0 0 0 0 a 0

0 0 0 0 0 1

3) Перестановка строк матрицы А местами м.б. осуществлена конечной последовательностью умножений слева на эту матрицу матриц вида 1 и 2.

Определители. Определение и свойства определителей

Определитель – числовая функция, заданная на квадрате матриц.

Перестановка Р={i₁,i₂ ,...,i_n} чисел (1,2, … n) – это расположение целых натуральных чисел в произвольном порядке. Например: {1,2,3}; {1,3,2}.

Говорят, что в перестановке Р эл-ты i_k,i_l образуют инверсию (непорядок), если выполняется условие (i_k-i_l)(k-l)<0

Путь I(P) – число инверсий в перестановке Р, например для перестановки Р={1,2,3} число инверсий равно 0 для Р={3,2,1} I(P)=3

Определителем │A│ квадратной матрицы A_n_*_n наз алгебраическая сумма n! слагаемых каждое из которых есть произведение n элементов матрицы А взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем эти слагаемые берутся сл знаком +, если число инверсий в перестановке индексов столбцов элементов этого произведения четно, и со знаком – в противном случае.

│A│‌‌=∑_i1=1ⁿ∑_i2=1ⁿ...∑_in=1ⁿ= a_1i1*a_2i2*….*a_nin*(-1)^{I (i1, i2, … , in)} (i₁≠i₂≠…. ≠i_n)

Эта формула громоздка и неудобна для практического вычисления. Поэтому на практике определители большого порядка вычислят по др схемам, например – по схемам разложения по строке или столбцу.

Из определения следует, что определитель матрицы первого порядка будет равен │А_1*1│=а₁₁

Определители 2 и 3 порядка вычисляют по следующим из формулы схемам:

Определитель матрицы 2 порядка │А_2*2│=а₁₁*а₂₂-а₁₂*а₂₁(Разность м/у элементами главной и побочной диагонали)

Определитель матрицы 3 его порядка │А_3*3│=а₁₁*а₂₂*а₃₃+а₁₂*а₂₃*а₃₁+а₁₃*а₂₁*а₃₂-а₁₁*а₂₃*а₃₂-а₁₂*а₂₁*а₃₂-а₁₃*а₂₂*а₃₁(правило Сарррюса)

Свойства определителей:

1 При транспонировании матрицы её определитель не меняется │А^т│=│А│

2 Если в матрице есть нулевая строка или столбец, то её определитель равен 0

3 При перестановке 2 строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный

4 Если какую-либо строку или столбец матрицы умножить на число λ, то определитель этой матрицы будет равен λ*│А│

5 определитель матрицы не изменится, если к любой его строке или столбцу прибавить другую строку или столбец, умноженную на какое-либо число

6 Если матрица имеет 2 одинаковые строки (столбца), то определитель =0

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 400; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!