Выбор факторов, областей их варьирования и видауравнения регрессии



Последовательность действий, необходимых для решения интерполяци- онной задачи, может быть представлен в виде блок-схемы (рис. 2.20).

Выбор факторов и областей их варьирования

Выбор вида уравнений регрессии

Построение плана эксперимента и его осуществление
Проверка значимости функции отклика
Определение численных значений в уравнении регрессии
Проверка значимости факторов
Проверка адекватности уравнения регрессии

 

Рис. 2.20. Блок-схема решения интерполяционной задачи

Выбор факторов, от которых зависит функция отклика Y, осуществляет- ся на основе анализа уже имеющихся результатов предыдущих исследований


(априорная информация). Выбирая факторы, надо следить за тем, чтобы они удовлетворяли следующим требованиям:

- управляемости факторов. Фактор должен изменяться по требуемому закону или оставаться постоянным во время проведенияопыта,

- совместимости фактора. Должна быть технически осуществима любая комбинация факторов в пределах области ихварьирования,

- независимости факторов друг отдруга.

Нельзя в качестве факторов X выбирать переменные, зависящие друг от друга. Область варьирования факторов задается путем введения ограничений на возможность изменения (варьирования) факторов. Ограничения бывают двух видов:

- ограничения, накладываемые непосредственно на факторы (например, X1> 0,X2< а, …Xn< 0),

- ограничения, накладываемые на функциональные зависимости факто- ров (например, φ(X1, X2, …Xn) >0).

Выбор ограничивающих зависимостей осуществляется из технических, технологических соображений, а также соображений, основанных на опыте предыдущих исследований или исследований в смежной области.

Выбор вида уравнения регрессии осуществляется из следующих сооб- ражений. Наиболее удобными для последующих расчетов являются полино- минальные модели, то есть модели, составленные из алгебраических поли- номов. На практике используют линейную полиноминальную модель, непол- ную квадратичную и квадратичную. Запишем эти зависимости для двухфак- торной функции отклика:

Y = bо + b1X1 + b2X2,

Y = bо + b1X1 + b2X2+ b12X1X2,

1
2
Y = bо + b1X1 + b2X2 + b12X1X2 + b11X2 + b22X2 .

Полиноминальные модели более высоких порядков обычно не приме- няют. При отсутствии априорной информации о характере зависимости функции отклика от факторов следует выбрать наиболее простую - линейную модель.

 

Построение плана эксперимента

Планом эксперимента называется совокупность опытов, необходимых для решения поставленной задачи. План эксперимента выбирают исходя из вида модели. Для линейной модели может быть применен наиболее простой план эксперимента – симметричный двухуровневый. Этот план предусматри- вает проведение опытов на двух уровнях, симметричных относительно неко- торого уровня, выбранного в качестве исходного.


План эксперимента может быть изображен в виде графика (рис. 2.21). По осям графика откладываются значения факторов – такой график называется факторным пространством. На графике (рис. 2.21,а) X10 ,X20 – исходные уровни факторов; X, X – верхние уровни; X, X – нижние уровни; ∆X1,

∆X2 – интервалы варьирования. Верхний и нижний уровни факторов полу- чают путем прибавления и вычитания из исходного уровня интервала варьи- рования:


 

a

Х2

 

Х2В

 

Х20Х2H


X= X+ ∆X1; X= X–∆X1; X= X+ ∆X2;X= X– ∆X2.

б

1
1
~x

+ 1
-1
+ 1
~x
-1
0

 

Х     Х        Х
Х1

1H       10       1В


 

Рис. 2.21. Симметричный двухуровневый план для двухфакторной функции отклика У: а) натуральный вид; б) нормированный вид

Согласно плану эксперимента, изображенному на рис. 2.21,а, опыты должны быть проведены на следующих уровнях факторов (X,X), (X1н,X2в), (X,X), (X,X), то есть надо проводить четыре опыта.

~
План эксперимента может быть также записан в виде таблицы, называе- мой матрицей планирования или репликой. Значения факторов записываются в реплике не в натуральном, а в нормированном (безразмерном) виде. Графи- чески переход от натуральных значений факторов к нормированным означает перенос осей координат факторного пространства в исходный уровень

(рис.2.21,б). Нормированные значения факторов будем обозначать X. Нор-

мированные и натуральные значения факторов связаны между собой сле- дующими соотношениями:

~ Xi-Xio                      ~



Xi=


DXi


; Xi=Xi×DXi+Xio


где Xi, ∆Xi – исходный уровень и интервал варьирования i- го фактора, i – номер фактора.

Найдем значения верхнего и нижнего уровней фактора в нормированном виде:


~
XiВ =

 

~
XiH=


XiB-Xio

DXi

XiH-Xio

DXi


=XIO+DXi-Xio

DXi

=Xio-DXi-Xio

DXj


 

=+1;

 

=-1.


Таким образом, в нормированном виде верхний уровень любого фактора всегда равен 1, а нижний – минус 1. Исходный уровень любого фактора в нормированном виде всегда равен нулю:


~
Xio=


Xio-Xio

DXi


= 0.


Очевидно, что интервал варьирования любого фактора в нормированном виде всегда равен единице:

D~ ~  ~

Xi=XiB-Xio= 1.

В качестве примера запишем матрицу планирования (реплику) симмет- ричного двухуровневого плана для двухфакторной функции отклика, содер- жащую 4 опыта (табл.2.13):

Таблица 2.13

 

Номер опыта ~ X1 ~ X2
1 +1 +1
2 -1 +1
3 +1 -1
4 -1 -1

 

Реплики больших размерностей записываются следующим образом. Ре- плика для трехфакторной функции отклика Y =f (X1,X2,X3) содержит 8 опы- тов (вершины куба в трехмерном пространстве). Сначала записывают репли- ку двухфакторной функции отклика (табл. 2.14) на первых четырех опытах и последующих четырех опытах, а затем – добавляют на первых четырех опы-

~


тах третий нормированный фактор

~


X3 при верхнем значении нормированно-


го фактора


X3B


(+1), а на следующих четырех опытах – при нижнем значении

~


нормированного фактора


X3H


(-1).


Аналогично поступают с матрицами больших размерностей, чем 3 фак- тора. Так для четырехфакторной функции отклика, содержащей 16 опытов, записывают сначала трехфакторную матрицу, а затемдобавляют нормиро-

~

ванный фактор X4 на первых 8 опытах как (+1), а на последних 8 опытах как(-1).


Таблица 2.14

Номер опыта ~ X1 ~ X2 ~ X3
1 +1 +1 +1
2 -1 +1 +1
3 +1 -1 +1
4 -1 -1 +1
5 +1 +1 -1
6 -1 +1 -1
7 +1 -1 -1
8 -1 -1 -1

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 224;