Статистические методы прогнозирования



Прогнозирование тех или иных событий в процессах жизненного цикла изделия неразрывно связано со временем [26, 27]. Учитывая, что невозможно точно предусмотреть условия и факторы, которые будут влиять на реализа- цию возможного события в будущем, прогнозирование является вероятност- ным процессом. Проблемы прогнозирования сопровождают весь период создания нового изделия. Среди них:

- прогноз характеристик рынка сбытапродукции,

- прогноз надежности узлов и конструкции изделия при его эксплуа- тации,

 

22


- прогноз стабильности системы производствапродукции,

- прогноз стабильности качества комплектующих, сырья иматериалов,

- прогноз продаж продукции и т.д.

Выбор методов прогнозирования зависит от многих факторов, в том числе от объема накопленных в прошлом данных, желаемой точности про- гноза, времени и стоимости затрат на составление прогноза и др. Прогноз во времени различают на краткосрочный (до года), среднесрочный (до трех лет) и долгосрочный (более трех лет). Очевидно, что чем меньше промежуток времени, отделяющий настоящий момент от прогнозируемого, тем больше вероятность точного прогноза (рис. 2.2).

%

 

 

время

краткосрочный              долгосрочный

 

Рис. 2. 2. Зависимость достоверности прогноза от сроков прогнозирования

Методы прогнозирования
  Качественные

Многие методы прогнозирования требуют наличия значительного коли- чества начальных данных и при их отсутствии просто не работают. Сущест- вующие методы составления прогнозов можно условно разделить на две группы: качественные и количественные (рис. 2.3) [27].

 

 

  Количественные
Анализ временных рядов
  Казуальные
Рис. 2. 3. Классификация методов прогнозирования

 

 

23


Качественные(или экспертные) методы прогнозирования строятся на использовании мнения специалистов в соответствующих областях знаний.

Количественныеметоды основываются на обработке числовых масси- вов данных и делятся на казуальные (или причинно-следственные) и методы анализа временных рядов. Казуальные методы применяются в тех случаях, когда прогноз связан с большим числом взаимоувязанных факторов. Отыска- ние математических (уравнений или неравенств) и других зависимостей ме- жду ними и составляет суть казуального метода. Анализ временных (дина- мических или хронологических) рядов связан с оценкой последовательности значений отдельных показателей во времени. Например, прогноз объема продаж или ценыпродукции.

Одним из основных критериев, которым должны руководствоваться раз- работчики прогнозов при выборе соответствующего метода, является стои- мость прогноза, слагаемая из затрат на его составление и цены ошибки про- гноза. Вторая часть затрат зачастую бывает более чувствительной для бюд- жета предприятия.

 

Анализ временныхрядов

Различают два вида временных рядов:

- моментные, когда значения рассматриваемого показателяX(x1,x2,..xn)

отнесенык определенным моментам времени T(t1,t2,tn), при tn>tn-1,

- интервальные, когда указаны соответствующие промежутки(интер-

валы) времени: (t0 – t1), (t1 – t2)… (tn–1 – tn).

Временные ряды часто задаются при помощи таблиц (см.табл.2.4) или графика (рис. 2.4.):

Таблица 2.4

Момент времени t1 t2 tn
Значение показателя x1 x2 xn

 

 


а x

x2xi

xnx1

 

 

t 1t2       ti tnt


б x

 

 

 

 

 

 

   
         

 

хn

 

х2 х1

 

 

t0 t1       t2 tn-1tn


Рис. 2. 4. Моментные (а) и интервальные (б) временные ряды

 

24


В задачах прогнозирования временные ряды используются при наличии значительного количества реальных значений рассматриваемого показателя при условии, что наметившаяся в прошлом тенденция ясна и относительно стабильна. Анализ временного ряда позволяет предположить, что должно произойти при отсутствии вмешательства дополнительных факторов извне.

Развитие процессов реально наблюдаемых в жизни складываются из не- которой устойчивой тенденции (тренда) и некоторой случайной составляю- щей, выраженной в колебании значений показателя вокруг линии тренда (рис. 2.5). Кривые тренда сглаживают динамический ряд значений показате- ля, выделяя общую тенденцию. Именно выбор кривой тренда, сам по себе являющийся довольно трудной задачей, во многом определяет результаты прогнозирования.


Объем продаж


Объем продаж


а                                                    б

 

t                                                  t

 

Рис. 2.5. Тендеры (тренды) продаж в начале (а) и в конце (б)

жизненного цикла продукции

Анализ времен- ных рядов
Подвижное среднее
Экспоненциальное сглаживание
Прогнозирование тренда

На тренд могут влиять также сезонные и циклические составляющие. Циклические составляющие отличаются от сезонных большей продолжи- тельностью и непостоянностью амплитуды. Обычно сезонные составляющие измеряются неделями и днями, а циклические – годами и более. Для просто- ты изложения в дальнейшем циклические составляющие рассматриваться в данной работе не будут. Одновременно принимаем, что тренд характеризует- ся линейнойзависимостью.

 

Рис. 2. 6. Классификация методов анализа временных рядов

25


Рассмотрим на примерах три метода анализа временного ряда (рис. 2.6).

Пример. Допустим, что выявленные дефекты изготовления продукции в цехе описываются следующим временным рядом (табл.2.5):

Таблица 2.5

День недели и месяца Число дефектов
3 апреля, понедельник 10
4 апреля, вторник 6
5 апреля, среда 5
6 апреля, четверг 11
7 апреля, пятница 9
8 апреля, суббота 8
9 апреля, воскресенье 7

 

Тот же временной ряд опишем короче (табл.2.6), в табличной форме, за- меняя время порядковым номером дня (календарного или рабочего):

Таблица 2.6

t 1 2 3 4 5 6 7
x 10 6 5 11 9 8 7

 

Метод подвижногосреднего

Этот метод разделяют на метод подвижного (скользящего) среднего и метод взвешенного (скользящего) среднего.

а) Метод подвижного (скользящего) среднего.Этот метод состоит в том, что расчет показателя на прогнозируемый момент времени строится пу- тем усреднения значений этого показателя за несколько предшествующих дней.

Допустим, что у нас имеются данные показателя только за первые три дня. Вычислим прогнозируемое число дефектов на четвертый день недели (6 апреля, четверг). Для этого определим среднее значение числа дефектов за предшествующие три дня:


f=åxi

4      n


=10 + 6 + 5 = 7 .

3


å
В общем случае расчетная формула прогноза выглядит следующим об-


разом:


f = 1NkN


xk-i


,                                          (2.3)


гдеxk-i–реальноезначениепоказателявмоментвремениtk-i, N – число предшествующих моментоввремени,

fk – прогноз на момент времени tk.

 

26


Сделаем аналогичные прогнозы на каждый день до понедельника сле- дующей недели и сведем данные в табл. 2.7:

Таблица 2.7

t 1 2 3 4 5 6 7 8
x 10 6 5 11 9 8 7 -
f - - - 7,0 7,3 8,3 9,3 8,0

 

Отразим полученные результаты также на графике (рис. 2.7).

x, f

11                               x

10

9                                                 f

8

7

6

5

4

3

2

t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Рис. 2. 7. График временного ряда (х) и прогноза (f)

по методу подвижного среднего

 

Оценим точность прогнозирования [26]. Любой отрезок динамического ряда, охваченный наблюдением, можно уподобить выборке. Увеличение или уменьшение длины ряда или плотности наблюдений в каждом временном интервале изменяет объем наблюдения и средние значения показателей.

Следовательно, значение «средней» для каждого отрезка ряда можно рассматривать как выборочную оценку некоторой «истинной» (генеральной) средней. С учетом этого можно определить погрешность и доверительные интервалы «выборочной» средней. Ее доверительные границы fmax и fmin при небольшом числе наблюдений будем оценивать с использованием распре- деления Стьюдента. Учитывая, что среднее значение x членов ряда, предше- ствующих моменту tk, является значением прогноза fk, уравнение для довери- тельных границ выборочного среднего будет иметь вид

fkmax/min=fk±νs·sx,                                      (2.4)

где νs – табличное значение статистики Стьюдента с (n – 1) степенями свободы и уровнем доверительной вероятности P,

sx – средняя квадратическая ошибка «средней» (прогноза).

 

27


n
sx=Sx.


 

(2.5)


 

В свою очередь среднее квадратическое отклонение sx выборки n равно:

 

               i n - 1
å(x - x )2
Sx=                 .                                            (2.6)

 


Определим по приведенным уравнениям доверительные границы и по-

грешность прогноза sxчисла дефектов на четверг 6 апреля.


Подставляя в уравнение (2.6) показатели первых трех моментов ряда,

получим sx= 2,64. Из уравнения (2.5) при n = 3 имеем sx=1,52.

Принимаем доверительную вероятность P = 0,90. Тогда νs = 1,9. При этом по формуле (2.3)имеем:

fkmax = 7 + 1,9 · 1,52 = 9,9;

fkmin = 4,1.

Как видно по рис. 2.7, при расчете прогноза по первым трем наблюде- ниям в приведенные интервалы не попал показатели числа дефектов, допу- щенных работниками цеха в понедельник 3 апреля и в четверг 6 апреля, что может быть связано с принятой нами в расчет низкой доверительной вероят- ностью наблюдений. Расчеты показывают, что верхняя граница прогноза в 11 дефектов может быть получена при доверительной вероятности Р=0,94.

б) Метод взвешенного (скользящего) среднего.При составлении про- гноза методом усреднения часто приходится наблюдать, что степень влияния использованных при расчете реальных показателей оказывается неодинако- вой, при этом обычно более «свежие» данные имеют больший вес.

Так, например, для нашего примера в предыдущем разделе а), практиче- ски невероятно, чтобы руководство цеха не предпринимало усилий по сни- жению дефектности изготавливаемых изделий. В этом случае последние данные динамического ряда носят более достоверную информацию о качест- ве продукции.

С учетом изложенного выше, введем в формулу (2.3) весовойпоказатель


ξi:


 

 

fk=


 

 

n

åxi×xk-i

åxk-i


 

 

.                                         (2.7)


Проведем численный расчет прогноза при условии, что вес сегодняшне- го показателя равен 0,6, вчерашнего – 0,3, позавчерашнего – 0,1. Тогда по формуле (2.7) получим:

f=10 ×0,1 + 6 ×0,3 + 5 × 0,6 =5,8 .

4             0,6 +0,3 +0,1

Сведем в табл.2.8 результаты расчета прогнозов до 10 апреля:

 

 

28


Таблица 2.8

 

t 1 2 3 4 5 6 7 8
x 10 6 5 11 9 8 7 -
f - - - 5,8 8,7 9,2 8,6 7,5

Отразим полученные результаты на графике (рис. 2.8).

x, f

х

10

 

8                                                 f

 

 

6

 

 

4

 

2

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 t

Рис. 2. 8. График временного ряда (х) и прогноза (f) по методу взвешенного среднего

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 459;