Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.



Определение. Если в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0   (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x,y)=0, следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.

Например, уравнение xdy+ydx=0 есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим интегралом будет  xy=c.

Теорема. Предположим, что функции M и  N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество    (9.2).

Доказательство.

Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция u(x,y), что  и .

Действительно, поскольку ,то

(9.3) , где  - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по y:

. Но , следовательно, .

Положим   и тогда .

Итак, построена функция , для которой , а .

Рассмотрим пример.

Пример. Найти общий интеграл уравнения: .

Решение. Здесь

Тогда . Следовательно, заданное дифференциальное уравнение 1-го порядка является уравнением в полных дифференциалах, т.е. существует такая функция u(x,y), частные производные которой соответственно по x и y равны  M(x,y) и  N(x,y):

. Интегрируем первое из двух соотношений по x:

, .

Теперь продифференцируем u(x,y) по y и приравняем полученное в результате выражение выписанной выше частной производной :

.

Откуда  и . Следовательно, общим интегралом заданного уравнения является: .

Интегрирующий множитель.

Если уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(x,y), такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение

µ(Mdx + Ndy) = 0  в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du, то функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1.

Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и  y, то .

Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка:

                          (10.1).

Если заранее известно, что µ= µ(ω), где ω – заданная функция от x и y, то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω:

                                     (10.2),

где , т. е. дробь является функцией только от ω.

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель

       , с = 1.

В частности уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (ω = x) или только от y (ω = y), если выполнены соответственно следующие условия:

        ,

или

   , .


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 167;