Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия.
Дифференциальные уравнения.
Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях.
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
(1.1),
где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные 
(функции, образованные как результат дифференцирования); термин – «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.
Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент x, искомую функцию 
и любые ее производные, но старшая производная 
обязана входить в уравнение n-го порядка. Например
а) 
– уравнение первого порядка;
б) 
– уравнение третьего порядка.
При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:
в) 
– уравнение второго порядка;
г) 
– уравнение первого порядка,
образующее после деления на dx эквивалентную форму задания уравнения: 
.
Функция 
называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него 
оно обращается в тождество.
Например, уравнение 3-го порядка
имеет решение 
.
Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: 
Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно y(x): 
В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.1).
|
|
|
Например, общим решением дифференциального уравнения 
является следующее выражение: 
, причем второе слагаемое может быть записано и как 
, так как произвольная постоянная 
, делённая на 2, может быть заменена новой произвольной постоянной 
.
Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при 
(1.2)
|
|
|
В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.
Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.
Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия.
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (n=1) имеет вид: 
или, если его удается разрешить относительно производной: 
. Общее решение y=y(x,С) или общий интеграл 
уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка 
позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.
Теорема 2.1. Если в уравнении функция 
и ее частная производная 
непрерывны в некоторой области D плоскости XOY , и в этой области задана точка 
, то существует и притом единственное решение 
, удовлетворяющее как уравнению , так и начальному условию 
.
|
|
|
Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: 
. Другими словами, уравнение задается в плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым. Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению 
приводится уравнение 
и так называемое уравнение в симметрической форме 
.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 490; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!