Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.



Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида      (3.1)

или уравнение вида           (3.2)

Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:

;

Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :

, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2):  .           (3.3)

Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями , если такие решения существуют.

Пример.

Решить уравнение: .

Решение.

Разделяем переменные:

       .

Интегрируя, получаем    

Далее из уравнений  и  находим x=1,  y=-1. Эти решения – частные решения.

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Определение 1. Уравнение 1-го порядка  называется однородным, если для его правой части при любых  справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция  - однородная нулевого измерения.

Решение.

,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция  - однородна и, наоборот, любая однородная функция  нулевого измерения приводится к виду .

Доказательство.

Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции , что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение           (4.1)

в котором M  и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством  при всех , называется однородным.

Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду    (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле  y=zx, где z(x) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим:  или  или .

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z(x)    , который после повторной замены  дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если - корни уравнения , то функции  - решения однородного заданного уравнения. Если же , то уравнение (4.2) принимает вид

 и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые: .

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x=zy.

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

Рассмотрим уравнение вида .     (5.1)

Если , то это уравнение с помощью подстановки , где  и  - новые переменные, а  и  - некоторые постоянные числа, определяемые из системы

Приводится к однородному уравнению

Если , то уравнение (5.1) принимает вид

.

Полагая z=ax+by, приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Проинтегрировать уравнение

и выделить интегральную кривую, проходящую через точки: а) (2;2); б) (1;-1).

Решение.

Положим y=zx. Тогда dy=xdz+zdx и

.

Сократим на  и соберем члены при dx и dz:

.

Разделим переменные: .

Интегрируя, получим ;

или , .

Заменив здесь z  на , получим общий интеграл заданного уравнения в виде (5.2)   или .

Это семейство окружностей , центры которых лежат на прямой y = x и которые в начале координат касаются прямой y + x = 0. Эта прямая y = -x  в свою очередь частное решение уравнения.

Теперь режим задачи Коши:

А) полагая в общем интеграле x=2,  y=2, находим С=2, поэтому искомым решением будет .

Б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку (1;-1). Зато полупрямая y = -x,  проходит через точку и дает искомое решение.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение.

Уравнение является частным случаем уравнения (5.1).

Определитель  в данном примере , поэтому надо решить следующую систему  

Решая, получим, что . Выполняя в заданном уравнении подстановку , получаем однородное уравнение . Интегрируя его при помощи подстановки , находим .

Возвращаясь к старым переменным x и y по формулам , имеем .


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 181;