Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы.



Формула (2) дает возможность определить критическую

силу только в случае шарнирного опирания обоих концов стержня. Обобщим полученный результат на некоторые другие часто встречающиеся случаи закрепления.

 

а) Стержень, закрепленный жестко одним концом и свободный от закрепления на другом.

Очевидно, изгиб стержня в этом случае будет таким же, как и в случае шарнирно опертого стержня, но имеющего длину в 2 раза большую.

Критическая сила в этом случае будет равна критической силе шарнирно опертого стержня, имеющего длину

Введем понятие коэффициента приведения длины - , т.е. числа показывающего во сколько раз нужно увеличить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной  при заданном закреплении. Очевидно, что в нашем случае .

Коэффициент  можно трактовать как число, показывающее сколько раз длина стержня укладывается в длине полуволны синусоиды, по которой происходит потеря устойчивости.

Обобщим формулу Эйлера     

     Для некоторых других случаев закрепления коэффициент приведения длины равен:

Пределы применимости формулы Эйлера.

 

Формула Эйлера выведена в предположении, что материал линейно упруг, и , естественно, применима в тех случаях пока справедлив закон Гука.

Придадим формуле (3) иной вид.

Введем понятие критического напряжения, т.е. напряжения соответствующего критической силе

но

где  - минимальный радиус инерции сечения.

Введем еще одну величину – гибкость стержня

тогда                                    

Тогда можно сказать, что формула Эйлера справедлива, если критические напряжения не превышают предела пропорциональности при

сжатии.        

Выясним, при каких гибкостях можно использовать формулу Эйлера.

Приравняем в (4)

Если  то можно использовать формулу (3).

Для малоуглеродистых сталей, особенно часто используемых для сжатых элементов:  тогда

т.е. для малоуглеродистых сталей формулу Эйлера можно использовать при гибкостях больших 100.

Приведенное выше решение пригодно только для сравнительно длинных и тонких стержней. В случае более коротких и жестких стержней потеря устойчивости происходит при возникновении пластических деформаций, и задача требует специального рассмотрения. Существуют решения (Т.Карман, Энгессер) об устойчивости стержня за пределами упругости. Иногда прибегают к эмпирическим формулам типа формулы Ясинского    где

 и  - константы, зависящие от свойств материала.

 

Коэффициент запаса на устойчивость.

Представляет собой отношение критической силы для стержня к силе действующей на него

Коэффициент запаса на устойчивость может выступать, как некоторая заданная нормативная величина, тогда

где  - нагрузка, допускаемая из условия устойчивости.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 325;