Применение дифференциального исчисления для исследования функции одной переменной. Исследование функции с помощью второй производной.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Асимптоты графика функции.

Выпуклость и вогнутость кривой.

Определение.

1) Кривая называется выпуклой (выпуклой вверх) на интервале , если все точки кривой расположены ниже любой ее касательной на этом интервале.

2) Кривая называется вогнутой (выпуклой вниз) на интервале , если все точки кривой расположены выше любой ее касательной на этом интервале.

Теорема (достаточное условие выпуклости, вогнутости кривой).

1) Если функция дважды дифференцируема на интервале и во всех точках этого интервала , то кривая выпукла вверх при .

2) Если во всех точках этого интервала , то кривая вогнута на этом интервале.

Определение. Точкой перегиба кривой называется точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой.

Очевидно, что в точках перегиба касательная пересекает кривую, т.к. по одну сторону точки кривая лежит ниже касательной, а по другую – над ней.

Приведем достаточное условие существования точки перегиба.

Теорема 6. Пусть кривая задана уравнением . Тогда если или не существует, и при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка с координатами является точкой перегиба.

Замечание. Внутренние точки из области определения функции, в которых или не существует, называются критическими точками II рода.

Асимптоты кривой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой , если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки от начала координат.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной.

1) Вертикальные асимптоты.

Уравнение вертикальной асимптоты . Для существования вертикальной асимптоты необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из пределов ; был равен бесконечности.

2) Наклонные асимптоты.

В общем виде уравнение наклонной асимптоты можно записать в виде уравнения прямой . Различают правую и левую наклонную асимптоты.

а) Правая наклонная асимптота: если при , то .

Но при имеем . Следовательно, , т.е. , или .

После нахождения (в случае его существования) находят .

Итак, схема нахождения правой наклонной асимптоты : сначала вычисляют

. Если этот предел существует (конечный), то вычисляют . Если и этот предел существует (конечный), то уравнение правой наклонной асимптоты .

Если хотя бы один из пределов ; не существует (конечный), то правой наклонной асимптоты нет. В случае получаем горизонтальную асимптоту, уравнение которой , где .

б) Уравнение левой наклонной асимптоты , , находится аналогично:

; .

Правило Лопиталя.

Это правило используется для устранения неопределенностей вида

при вычислении пределов вида , .

Сформулируем правило Лопиталя для случая неопределенности .

Теорема. Пусть 1) ; ;

2) и существуют в некоторой проколотой окрестности точки , и пусть в этой окрестности.

Тогда, если существует конечный или бесконечный предел ,

то .

Примеры.

1) .

Функции дифференцируемые, в некоторой проколотой окрестности точки . Поэтому правило Лопиталя применять можно.

2) .

Правило Лопиталя применять нельзя, т.к. обращается в ноль в любой окрестности (т.е. при ).

Общая схема исследования функции и построения графика.

При исследовании поведения функции и построении ее графика целесообразно придерживаться следующей схемы.

1. Найти область определения функции, исследовать на непрерывность.

2. Исследование на четность.

3. Исследование на периодичность.

4. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат, нахождение интервалов знакопостоянства (методом интервалов).

5. Исследование поведения функции вблизи точек разрыва и на границах области определения (т.е. вычисление односторонних пределов). Нахождение вертикальных асимптот.

6. Нахождение наклонных асимптот.

7. Исследование по (на возрастание, убывание, нахождение экстремумов).

8. Исследование по (на выпуклость, вогнутость, нахождение точек перегиба).

Полученные знания следует постепенно наносить на чертеж.

Пример.

Построить график функции . Решение.

1) Область определения функции: . является точкой разрыва.

2) Так как область определения не симметрична оси OX, то функция общего вида.

3) Функция не является периодической.

4) Точки пересечения с осью OX: =0 ; .

Точка пересечения с осью OY: .

Интервалы знакопостоянства:

5) Исследование поведения функции вблизи точек разрыва и на границах ОДЗ:

= = = = .

Знак «-» соответствует исследованному знаку .

= = = = .

= является вертикальной асимптотой.

= .

Вычисленные пределы изображаем на графике.

6) Находим наклонные асимптоты.

а) Правая наклонная асимптота .

= = 1.

= =

= =5. Подставляя найденные и в уравнение получаем уравнение правой наклонной асимптоты: .

б) Левая наклонная асимптота в данном примере та же , так как при вычислении в предыдущем пункте нигде не использовался знак «плюс» бесконечности. Следовательно, при будут такими же.

Вывод: - двусторонняя наклонная асимптота.

Отмечаем на графике:

При

график приближается к асимптоте

либо сверху (

), либо снизу (

). Аналогично и для

. Какой из случаев имеет место, будет известно после исследования на выпуклость.

7) Исследование по (на возрастание, убывание, нахождение экстремумов).

. Заметим, что вычисленную производную следует разлагать на множители. В этом виде удобно находить критические точки и исследовать знак.

Ищем критические точки: =0 . Эти точки являются внутренними точками ОДЗ, следовательно, являются критическими точками

I рода. не существует при , но эта точка не принадлежит ОДЗ, поэтому критической не является. Итак, получены критические точки I рода: .

Это точки возможного экстремума. Проверим по достаточному условию. Для этого исследуем знак :

При переходе через точку не меняет знака, поэтому эта точка не является точкой экстремума. Однако в этой точке касательная к графику параллельна оси OX.

При переходе через производная менякт знак с «-» на «+», следовательно, является точкой минимума. Вычисляем значения функции в критических точках: