Применение дифференциального исчисления для исследования функции одной переменной. Исследование функции с помощью первой производной.
Условия возрастания и убывания функций.
Напомним, что функция 
называется возрастающей (убывающей) на интервале 
, если 
из неравенства 
следует неравенство 
.
Теорема 1 (необходимый признак монотонности).
Пусть функция 
дифференцируема на интервале . Тогда:
1) Если 
возрастает на , то 
для 
.
2) Если убывает на , то 
для 
.
3) Если 
на , то 
для 
.
Доказательство. Пусть возрастает на . Придадим аргументу 
приращение 
так, что 
не выходит за пределы интервала , и рассмотрим отношение 
. Так как возрастает на , то
; 
.
И в одном, и в другом случае справедливо неравенство 
. Переходя к пределу при 
, получаем 
.
Доказательство пунктов 2 и 3 аналогично.
Теорема 2 (достаточный признак монотонности).
Пусть функция 
непрерывна на и дифференцируема на интервале 
. Тогда
1) Если 
для 
, то возрастает на .
2) Если 
для , то убывает на .
3) Если 
для , то 
на .
Доказательство.
1) Рассмотрим случай, когда для . Выберем произвольные 
и пусть 
. Заметим, что функция 
удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Тогда на промежутке 
найдется 
такая, что 
, или 
. Так как по условию теоремы 
и, кроме того, 
, то получаем, что 
, или 
. Следовательно, возрастает на .
Пункты 2 и 3 теоремы доказываются аналогично.
Геометрический смысл теоремы иллюстрирует рисунок:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Локальные экстремумы функции.
Определение.
1) Точка 
называется точкой локального максимума ( 
) функции 
, а число 
максимумом этой функции, если существует окрестность точки , такая, что для всякого 
из этой окрестности выполняется неравенство 
.
2) Точка называется точкой локального минимума ( 
) функции , а число минимумом этой функции, если существует окрестность точки , такая, что для всякого из этой окрестности выполняется неравенство 
.
Точки максимума и минимума функции также называют точками экстремума данной функции. Функция может иметь несколько точек максимума и минимума на каком-либо отрезке.
Теорема 3. Если функция дифференцируема и имеет в точке экстремум, то 
.
Доказательство. Пусть в точке функция достигает максимума. Тогда, согласно определению, существует окрестность точки , в которой выполняется неравенство . Следовательно, наибольшее значение функции в данной окрестности. Тогда по
теореме Ферма .
В случае, когда наименьшее значение функции, доказательство аналогично.
Замечания.
1) Кроме точек, в которых , экстремум может достигаться в точках, где 
не существует (либо 
, либо 
не определена).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Сформулированное в теореме условие является необходимым, но не достаточным, т.е.
|
|
|
|
равенство нулю производной в точке еще не означает, что - точка экстремума. Примером может служить функция  . Но при  функция  экстремума не имеет.
|
С учетом доказанной теоремы и замечаний сформулируем необходимое условие экстремума:
если - точка экстремума функции , то или 
не существует.
Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками I рода.
Теорема 4 (первое достаточное условие экстремума).
Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности критической точки и дифференцируема во всех точках этой окрестности кроме, быть может, самой точки . Тогда если при переходе через точку слева направо:
1) производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;
2) производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума;
3) производная не меняет знака, то не является точкой экстремума.
Геометрический смысл теорем иллюстрирует рисунок.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При исследовании функций можно также использовать еще один, так называемый второйдостаточный признак экстремума, который мы приведем без доказательства.
Теорема 5. Пусть непрерывная функция 
дважды дифференцируема в критической точке 
и в некоторой ее окрестности. Тогда
1) если 
, то 
точка максимума функции;
2) если 
, то 
точка минимума функции;
3) если 
, то необходимо провести дополнительное исследование.
С учетом изложенного, при нахождении точек экстремума функции целесообразно придерживаться следующей схемы:
1) найти производную функции 
;
2) найти критические точки I рода;
3) используя достаточные условия, проверить каждую критическую точку на существование экстремума.
Лекция 5.
Дата добавления: 2021-04-23; просмотров: 59; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!