Основные правила дифференцирования.

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Производная функции. Геометрический и физический смысл производной.

Уравнения касательной и нормали.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1 (о скорости движущейся точки).

Пусть материальная точка движется неравномерно по прямой. Пройденный точкой

путь, отсчитываемый от точки , связан со временем движения законом , который известен. За промежуток времени точка проходит путь . Тогда средняя скорость движения точки за период времени от до будет .

Мгновенная скорость точки в момент времени будет равна

Задача 2 (о касательной к данной кривой).

Пусть задана функция

. Возьмем на кривой произвольную точку

и близкую к ней точку

. Прямая

называется секущей. Угол

угол наклона секущей к положительному направлению оси

, причем

. Будем перемещать точку

по кривой до совмещения с точкой

. Тогда предельное

положение секущей при , или , определит касательную к кривой в точке . Причем при : ; . А так как непрерывная функция в промежутке , то , где угол наклона касательной к положительному направлению оси . Величина угловой коэффициент касательной. Тогда .

Во всех рассмотренных задачах, имеющих совершенно различное содержание,

с математической точки зрения вычислялась одна и та же величина, а именно предел приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Обобщающим понятием для подобных величин является понятие производной.

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Определение. Выражения ; называются соответственно левой и правой производными функциями в точке .

Для существования производной необходимо и достаточно, чтобы .

Физический смысл производной следует из задачи 1. В более широком понимании физический смыл производной заключается в том, что она задает скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной следует из задачи 2: величина равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке .

Примеры.

1) .

Аналогично доказывается .

2) .

3) .

В частности, .

4) .

В частности, .

Уравнения касательной и нормали.

Пусть задана кривая

и точка

, принадлежащая данной кривой. Пусть также функция

имеет в точке

производную

. Найдем уравнение касательной к кривой

, проходящую через точку

Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку:

, где угловой коэффициент прямой.

Но (из геометрического смысла ). Тогда уравнение касательной к кривой в точке будет .

Нормалью к кривой в точке называют прямую, проходящую через

точку перпендикулярно касательной к кривой в точке .

Как известно, условие перпендикулярности двух прямых: , или .

Следовательно, при условии, что в точке , уравнение касательной будет

Непрерывность функции, имеющей производную.

Теорема (необходимое условие существования производной).

Если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть имеет производную в точке , то есть существует .

По определению . Тогда по теореме о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой получим ,

где б/м при . Умножив обе части полученного равенства на ,

получим . Тогда ,

что и означает непрерывность функции в точке .

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производную.

Замечание. Непрерывность функции является необходимым условием существования производной, но не достаточным. То есть, если функция имеет производную в точке, то она непрерывна. Однако из факта непрерывности функции в точке не обязательно следует, что в этой точке она имеет производную.