Задачи для самостоятельного решения
11. Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных.
12. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент.
13. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.
14. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно три бракованные детали? Какова вероятность обнаружить не меньше трех бракованных деталей?
Простейший поток событий
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примерами потоков событий служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолётов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов и др.
Экспоненциальное (показательное) распределение
Случайная величина х распределена по экспоненциальному закону, если плотность распределения вероятности имеет вид
, (16)
|
|
|
где х – случайная величина, 
– постоянная.
Если за случайную величину принять время работы до отказа изделия то выражение для плотности вероятности можно переписать в следующем виде:
, (17)
где t – время работы до отказа, 
− интенсивность отказов.
Для характеристик непрерывных распределений используется функция распределения 
:
. (18)
Подставив сюда выражение для плотности вероятности (2.21), получим значение функции распределения для экспоненциального закона:
. (19)
Физический смысл функции распределения 
– это вероятность того, что случайная величина попадает в интервал от 0 до t.
Экспоненциальный закон распределения характеризуется математическим ожиданием (среднее время наработки на отказ)
. (20)
Экспоненциальный закон применяется только в тех случаях, когда наблюдается незначительный сбой в работе изделия, а отказы распределены равномерно в равных интервалах времени.
Обычно с помощью этого закона описывают: продолжительность обслуживания покупателя, время жизни оборудования до отказа, промежуток времени между поломками и т.п.
|
|
|
Функция, которая задаёт закон распределения непрерывной случайной величины или функция распределения:
Функция плотности распределения:
Функцией надежности R( t ), называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t :
R( t ) = P(T > t ) = 1 – F( t ) (21)
Пример 10
Время безотказной работы устройства распределено по показательному закону f(t) = 0,02e-0,02t при t ≥ 0 (t – время в часах). Какова вероятность того, что устройство проработает безотказно 50 часов?
Решение.
По условию постоянная интенсивность отказов
λ = 0,02. Используя формулы (19,21), получаем:
R(50) = e-0,02·50 = e-1 ≈ 0,368.
Формула Пуассона
Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий:
(21)
Вероятность появления k событий за промежуток времени, равный t, 
− интенсивность потока событий.
Пример 11.
Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно 2. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.
Поток вызовов предполагается простейшим.
|
|
|
Решение.
По условию 
, воспользуемся формулой Пуассона.
а) искомая вероятность того, что за 5 минут поступит 2 вызова
.
Это событие практически невозможно
б) Событие «не поступило ни одного вызова» и «поступил один вызов» несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность того, что за 5 минут поступит менее двух вызовов, равна
Это событие практически невозможно.
в) События «поступило менее двух вызовов» и «поступило не менее двух вызовов» противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 5 минут поступит не менее двух вызовов.
Это событие практически достоверно.
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 105; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!