Математическое ожидание числа появления события в независимых испытаниях.
Лабораторная работа 2
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:
, (1)
где P(A) − вероятность события, m – число элементарных исходов благоприятствующих А, n – число всех возможных элементарных исходов.
Пример 1:
Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.
Решение:
Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход(нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
Формулы комбинаторики
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок
, (2)
где 
, 
.
Пример 2:
Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
|
|
|
Решение:
Искомое число трёхзначных чисел
.
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений
(3)
Пример 3:
Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?
Решение.
Искомое число сигналов
.
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний
. (4)
Пример 4:
Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?
Решение.
Искомое число способов
Задачи для самостоятельного решения
1. Группу из 30 студентов нужно разделить на 4 бригады, причем в первую бригаду должны входить 5 человек, во вторую – 10, в третью – 12, в четвертую – 3 Сколькими способами это можно сделать?
2. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове ПАРК и ТОПОТ?
3. В вопросах к зачету имеются 75% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту. Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ.
|
|
|
4. В пассажирском поезде 12 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 5 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах? Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?
5. Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?
6. В шахматном турнире участвует человек и каждый с каждым играет по одной партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?
Случайная величина
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
|
|
|
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически ( в виде формулы) и графически.
Принято обозначать сами случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z.
Пример 5.
В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 рублей и десять выигрышей по 1 рублю. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение:
Напишем возможные значения Х:
Вероятности этих возможных значений таковы: 
.
Напишем закон распределения:
Х 50 10 0
р 0.01 0.1 0.89
Контроль: 0.01 + 0.1 + 0.89 = 1 Суммарная вероятность не должна превышать единицу).
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности:
(5)
Пример 6:
Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон её распределения:
Х 3 5 2
Р 0.1 0.6 0.3
|
|
|
Решение:
Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
(6)
2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания:
(7)
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
(8)
Математическое ожидание числа появления события в независимых испытаниях.
Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p. Чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях?
Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:
. (9)
Пример 7:
Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия 
. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание
.
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 76; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!