Равнобедренный и равносторонний треугольники.
Треугольник называется равнобедренным, если у него равны две стороны (рисунок 14). При этом равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.
Равнобедренный треугольник обладает следующими свойствами:
Свойство углов при основании равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Свойство медианы равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой.
Доказать, что треугольник является равнобедренным, помогают следующие признаки равнобедренного треугольника:
1. Если два угла треугольника равны, то треугольник является равнобедренным, причем равные углы прилежат к его основанию.
2. 
Если высота треугольника одновременно является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный, а названная высота проведена к его основанию.
3. Если высота треугольника одновременно является его медианой, то этот треугольник равнобедренный, а названная высота проведена к его основанию.
4. Если медиана треугольника одновременно является его высотой, то этот треугольник равнобедренный, а названная медиана проведена к его основанию.
Треугольник называется равносторонним, если у него равны все три стороны (рисунок 15). Поскольку равносторонний треугольник является равнобедренным, он обладает всеми свойствами равнобедренного треугольника, причем основанием в нем можно считать любую сторону. В частности, каждый угол равностороннего треугольника равен 60 °.
|
|
|
7. Прямоугольный треугольник с углом в 30 °.
Докажем свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°: В прямоугольном треугольнике с углом в 30° гипотенуза вдвое больше катета, лежащего напротив этого угла.
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ÐA=30°, ÐC=90° (рисунок 16). Требуется доказать, что AB=2BC.
1. 
Продлим катет BC за точку C на расстояние CD=BC и соединим точки A и D. Поскольку AC – высота и медиана треугольника ABD, он является равнобедренным с основанием BD по признаку равнобедренного треугольника.
2. ÐD=ÐB=90°-30°=60° по свойству углов при основании равнобедренного треугольника.
3. По теореме о сумме углов треугольника получаем: ÐBAD=180°-2×60°=60°. Таким образом, в треугольнике ABD каждый угол равен 60°, а значит, он является равносторонним. Тогда по определению равностороннего треугольника AB=BD=2BC, что и требовалось доказать.
Справедлива и обратная теорема – признак прямоугольного треугольника с углом в 30°: Если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.
Доказательство: Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ÐC=90°, AB=2BC (рисунок 17). Требуется доказать, что ÐA=30°.
|
|
|
1. Обозначим BC=a, тогда AB=2a. Продлим катет BC за вершину C на отрезок CD=a и соединим точки A и D. Поскольку AC – высота и медиана треугольника ABD, он является равнобедренным с основанием BD по признаку равнобедренного треугольника, то есть AD=AB=2a.
2. Поскольку AB=AD=2a=BD, треугольник ABD является равносторонним по определению. Но тогда по свойству равностороннего треугольника ÐBAD=ÐB=ÐD=60°.
3. Из треугольника ABC по теореме о сумме углов треугольника получаем: ÐBAC=90°-60°=30°, что и требовалось доказать.
Дата добавления: 2020-11-29; просмотров: 83; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!