Определение суммарной погрешности при косвенных измерениях
При косвенных измерениях значение измеряемой величины А находят по результатам измерений аргументов. В свою очередь искомая величина А связана с аргументами a 1 ,…а i ,…а m,…, уравнением [4]:
, (19)
Вид функции f определяется при установлении модели объекта измерения.
Косвенные измерения при линейной зависимости
При линейной зависимости искомая величина А связана с изменяемыми аргументами уравнением [4]:
, (20)
где m – количество измеряемых аргументов;
Bi – постоянные коэффициенты.
Среднее квадратическое отклонение при косвенных измерениях определяется выражением:
, (21)
где S 2 ( ai ) – оценка среднего квадратического отклонения результата измерения ai.
В результате суммарная погрешность косвенных измерений при линейной зависимости может быть определена по уравнению:
, (22)
где Δ i – систематическая погрешность j-ого аргумента, К - тоже, что и в формуле (6).
Косвенные измерения при нелинейной зависимости
При некоррелированных погрешностях измерений ai используется метод линеаризации путём разложения функции f(а1,…., аm) в ряд Тейлора по формуле [4]:
, (23)
где Δа i = ai - 
– отклонение отдельного результата наблюдений ai от 
; R – остаточный член.
Метод линеаризации допустим, если приращение функции f можно заменить её полным дифференциалом. Остаточным членом 
, пренебрегают, если 
.
|
|
|
где S(ai) – оценка среднего квадратического отклонения случайных погрешностей результата измерения ai.
При этом отклонения Δа i должны быть взяты из возможных значений погрешностей и такими, чтобы они максимизировали r.
Результат вычислений 
вычисляют по формуле [4]:
. (24)
Оценку среднего квадратического отклонения случайной составляющей погрешности результата такого косвенного измерения S(A) вычисляют по формуле [4]:
, (25)
Значение границ не исключённой систематической погрешности и погрешности Δ(P) результата косвенного измерения при нелинейной зависимости вычисляются так же, как и при линейной зависимости, но с заменой коэффициентов b на 
.
Метод приведения (для косвенных измерений с нелинейной зависимостью) применяется при неизвестных распределениях погрешностей измерений ai и при корреляции между погрешностями а i для получения результата косвенного измерения и определения его погрешности. При этом предполагается наличие рада n результатов наблюдений а ij измеряемых аргументов ai. Сочетания а ij, полученных в j – м эксперименте подставляют в формулу и вычисляют ряд значений А i измеряемой величины А. Результат измерения а вычисляют по формуле (26) [4].
|
|
|
, (26)
где 
- доверительная граница случайной погрешности результата измерения;
- не исключённая систематическая погрешность;
; 
; S(Х) – результат измерения.
, (27)
Оценку среднего квадратического отклонения S(A) случайной составляющей погрешности а вычисляют по формуле [4]:
, (28)
Границы не исключённой систематической погрешности 
и погрешности Δ(P) результата измерения A определяют описанными выше способами для линейной зависимости.
Частными случаями при определении погрешности косвенных измерений при не линейной зависимости можно считать уравнения вида Р = А и Р = А/В для которых значения среднеквадратического отклонения косвенного измерения величины Р можно определить из выражения:
, (29)
где S(A)A и S(A)B – средние квадратические отклонения измеряемых аргументов A и B соответственно.
Суммарная погрешность при данных видах нелинейной зависимости искомой величины определяется из выражения:
|
|
|
, (30)
Пример. Сопротивление нагрузки определяется по закону Ома R =U/I. Показания вольтметра U = 100 В, амперметра I = 2 А. Средние квадратические отклонения показании: вольтметра S ( A ) U = 0,5 В, амперметра S(A)I = 0,05 А. Доверительные границы истинного значения сопротивления с вероятностью Р = 0,95 (К = l,96) равны...
Решение. В данной задаче суммарная погрешность измерения будет определять из уравнения (30) но, так как систематическая погрешность исходя из условия задачи рана нулю уравнение примет следующий вид:
.
Среднеквадратическое отклонение будет определяться из выражения (29):
.
В итоге получим, что суммарная погрешность определяется из выражения:
.
В свою очередь доверительные границы определяются из выражения:
,
.
Результат решения задачи следует записать в следующем виде:
при Р = 0,95.
Но не следует забывать, что при не линейной зависимости отличающейся от частных случаев зависимостей, оценка среднего квадратического отклонения проводится в соответствии с уравнением (25) либо (28) в зависимости от вида измерений аргументов аi и наличия корреляции между ними.
Пример. Сопротивление Rх измерено с помощью четырехплечего моста и рассчитано по формуле: R х = R 2 R 4 / R 4. Найдите относительную среднюю квадратическую погрешность результата измерения, если относительные средние квадратические погрешности сопротивлений R2, R3 и R4 соответственно равны 0,02; 0,01 и 0,01%.
|
|
|
Решение. Относительная средняя квадратическая погрешность сопротивления Ri равна:
S ( A )0 i = (S ( A ) i/Ri ) 100%,
где S ( A ) i – средняя квадратическая погрешность сопротивления Ri.
Воспользовавшись формулой среднего квадратического отклонения S( A) случайной погрешности результата косвенного измерения:
Частная производная берется в точке а1, а2, …, аn, соответствующей результатам прямых измерений, получим:
Для данной функции F:
(¶ f / ¶ R2)2 =(R3/ R4)2 = R2х/R22.
Аналогично:
(¶ f / ¶ R3)2=R2х/R23,
(¶ f/¶ R4)2 = R2х / R24.
Тогда:
Откуда:
%.
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 483; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!