Построение параметрически заданных кривых.

Пример 7. Исследовать параметрически заданную кривую ,  и построить ее.

► Предварительное исследование и построение эскиза.

Найдем производные функции :  и функции : .

Рассмотрим промежутки монотонности функций  и :

	убывает от до	возрастает от  до
	возрастает от  до	убывает от  до
	возрастает от  до	убывает от  до
	убывает от  до	убывает от  до
	убывает от  до	возрастает от  до

Если , то , ; значит  — вертикальная асимптота, можно предположить, что кривая выпукла вверх (к асимптоте).

Точка  при  является точкой минимума функции  и точкой минимума функции .

Если , то , . Следовательно, исследуем наклонную асимптоту.

.

.

Асимптота  при , причем . В достаточно малой левой полуокрестности точки  определим знак выражения:

.

Следовательно, кривая расположена выше асимптоты и, можно предположить, что выпукла вниз.

Аналогично, если , то , , . .

Асимптота  при , причем . В достаточно малой правой полуокрестности точки  определим знак выражения:

. Следовательно, кривая расположена ниже асимптоты и, можно предположить, что выпукла вверх.

 

 

При   функция  имеет максимум, а функция  убывает при . Поэтому — точка максимума функции .

Если , то , . Следовательно,  — горизонтальная асимптота при . Так как кривая расположена выше асимптоты, можно предположить, что она выпукла вниз (к асимптоте).

Если , то , . Следовательно,  — горизонтальная асимптота при . Так как кривая расположена выше асимптоты, можно предположить, что она выпукла вниз (к асимптоте).

Если , то , . Значит  — вертикальная асимптота. Можно предположить, что кривая выпукла вниз (к асимптоте).

Строим эскиз кривой (рис. 14.1).

Учитывая, что поведение кривой исследовано в достаточно малых окрестностях рассмотренных точек, эскиз может не отразить всех характерных особенностей кривой.

Исследование кривой с помощью производных и построение кривой.

.

Приведем результаты анализа в виде таблицы

					выводы
					вертикальная асимптота
					точка возврата
					асимптота
					точка максимума  с вертикальной касательной
					асимптота
					вертикальная асимптота

Кривая изображена на рис. 14.2.

 

Пример 8. Исследовать и построить кривую , .

 

► Предварительное исследование и построение эскиза. Найдем производные функций  и :

; .

Зная производные, заполним таблицу изменения значений функций  и в зависимости от :

 

Исследуем асимптоты кривой.

Если , то ,  соответственно. Значит прямая  является вертикальной асимптотой кривой.

Если , то , , , . Асимптота не существует.

Эскиз кривой изображен на рис. 15. 1.

 

 

Исследование кривой с помощью производных и построение кривой.

 

, ,

.

					выводы
					минимум  с односторонней горизонтальной касательной
					точка перегиба
					асимптоты нет
					асимптоты нет
					точка возврата
					вертикальная асимптота
					вертикальная асимптота
					минимум  с односторонней горизонтальной касательной

Кривая изображена на рис. 15.2.

Пример 9. Исследовать и построить кривую , .

► Предварительное исследование и построение эскиза.

Заметим, что  неотрицательная функция. Следовательно, кривая лежит в верхней полуплоскости.

Найдем производные функций  и : ,  и рассмотрим промежутки монотонности функций  и .

 

Если , то . Найдем асимптоту кривой: ,

. Прямая  является асимптотой кривой. Из таблицы видно, что кривая лежит выше асимптоты, следовательно, выпукла вниз (к асимптоте).

Если , то , . Найдем асимптоту кривой: ,

. Прямая  является асимптотой  кривой. Из таблицы видно, что кривая лежит ниже асимптоты. Можно предположить, что кривая выпукла вверх (к асимптоте).

Если , то , , точка максимума функции .

Если , то , . При , . Значит,  — вертикальная асимптота.

Если , то , ,  — точка минимума функций  и .

Строим эскиз (рис. 16.1).

Координаты точки самопересечения кривой указывать и исследовать не обязательно.

Исследование с помощью производных и построение графика.

, , .

 

					выводы
					горизонтальная асимптота
					точка максимума функции  с вертикальной касательной
					точка перегиба
					вертикальная асимптота
					точка возврата
					горизонтальная асимптота

 

Кривая изображена на рис. 16.2.

---

Дата добавления: 2019-11-16; просмотров: 264; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!