Дифференцирование функции, аналитическое выражение которой содержит модуль

Содержание

Построение графиков функций . . . . . . . . . . . . 1. План исследования функции при построении графика . . 2. Основные понятия и этапы исследования функции . . . . 1. Область определения функции

и множество значений функции

. Специальные свойства функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Исследование асимптот . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Вертикальные асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Наклонные (горизонтальные) асимптоты . . . . . . . 2.3. Методы исследования невертикальных асимптот . . 2.4. Взаимное расположение графика функции и его асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Построение эскиза графика функции . . . . . . . . . . 4. Участки возрастания и убывания функции Точки минимума и максимума . . . . . . . . . . . . . . . 5. Выпуклость функции вверх и вниз Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Дифференцирование функции, аналитическое выражение которой содержит модуль . . . . . . . . . . . . . 4. Основные требования к результатам исследования и построению графика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Примеры исследования функций и построения графиков функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Построение кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.План исследования и построения кривых . . . . . . . . . . 2. Основные понятия и этапы исследования кривой . . . . . 1. Исследование функций

. . . . . . . 2. Использование результатов исследования

. . 2.1. Вертикальные асимптоты кривой . . . . . . . . . . . 2.2. Наклонные (горизонтальные) асимптоты кривой . . 3. Анализ результатов и построение эскиза графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Участки возрастания и убывания кривой Точки минимума и максимума функций

, точки возврата кривой . . . . . . . 5. Выпуклость функции вверх и вниз. Точки перегиба . . 3. Построение параметрически заданных кривых . . . . . . Пример 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи для самостоятельного решения . . . . . . Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 5 5 6 6 6 6 9 11 11 14 17 18 20 20 24 29 32 36 40 44 44 44 44 45 45 45 46 46 48 49 49 54 58 63 66

Построение графиков функций

План исследования функции при построении графика

1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции: четность, нечетность; периодичность, свойства симметрии.

2. Исследовать асимптоты графика функции: вертикальные, наклонные. Проанализировать взаимное расположение графика функции и его наклонных (горизонтальных) асимптот.

3. Построить эскиз графика.

4. Найти участки монотонности функции: возрастание и убывание. Найти экстремумы функции: минимумы и максимумы.

Найти односторонние производные в точках разрыва производной функции и в граничных точках области определения функции (если односторонние производные существуют).

5. Найти промежутки выпуклости функции и точки перегиба.

2. Основные понятия и этапы исследования функции

1. Область определения функции и множество значений функции . Специальные свойства функции

Указать область определения функции, на оси абсцисс отметить ее граничными точками и выколотыми точками, указать абсциссы этих точек. Нахождение области определения функции приводить не обязательно.

Множество значений функции находить не обязательно. Легко исследуемые свойства множества значений: неотрицательность, ограниченность снизу или сверху и т.п., используются для построения эскиза графика, контроля результатов исследования и правильности построения графика.

График четной функции симметричен относительно оси ординат . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Четные и нечетные функции исследуют на положительной половине области определения.

Периодическую функцию исследуют на одном периоде, а график приводят на 2-3-х периодах.

2. Исследование асимптот

2.1. Вертикальные асимптоты

Определение 1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если выполнено хотя бы одно из условий: [1] или .

2.2. Наклонные (горизонтальные) асимптоты

Определение 2. Прямая называется (невертикальной) асимптотой графика функции при , если .

Из определения асимптоты при следует, что , . Вычисляя соответствующие пределы, получаем уравнение асимптоты .

Аналогичное утверждение справедливо и в случае, когда .

Если , то асимптота называется наклонной. Если , то асимптота называется горизонтальной.

Аналогично вводятся понятия наклонной и горизонтальной асимптоты графика функции при .

2.3. Методы исследования невертикальных асимптот

Исследование асимптот при и при как правило проводят отдельно.

В некоторых частных случаях возможно совместное исследование асимптот при и при , например, для

1) рациональных функций;

2) четных и нечетных функций, для графиков которых исследование можно проводить на части области определения.

Метод выделения главной части. Для нахождения асимптоты выделяем главную часть функции при . Аналогично при .

Главную часть дробно рациональной функции удобно находить, выделяя целую часть дроби:

Пример 1. Найти наклонные асимптоты графика функции .

► . Так как при , то прямая является искомой асимптотой. ◄

Главную часть иррациональной функции при решении практических примеров удобно находить используя методы представления функции формулой Тейлора при .

Пример 2. Найти наклонную асимптоту графика функции при .

►Так как

при , то прямая является искомой асимптотой. ◄

Главную часть иррациональных функций вида и удобно находить соответственно методом выделения полного квадрата или полного куба подкоренного выражения.

Пример 3. Найти наклонные асимптоты графика функции при и .

►В подкоренном выражении выделим полный квадрат

. Так как график функции симметричен относительно прямой и , то при . Значит, прямая является асимптотой при , а прямая — асимптотой при . ◄

Для нахождения асимптот можно использовать метод выделения главной части.

Пример 4. Найти асимптоты графика функции .

►Так как

, то функция имеет асимптоту при и асимптоту при .◄

Для трансцендентных функций приемлемы оба метода исследования асимптот при решении практических примеров.

Замечание 1. При исследовании асимптот иррациональных, трансцендентных функций, а также функций, аналитическое выражение которых содержит модуль, целесообразно рассматривать два случая: и . Совместное исследование асимптот при и при может привести к ошибкам в исследовании. При нахождении пределов или главной части при необходимо выполнить замену переменной .

2.4. Взаимное расположение графика функции и его асимптоты

а) Если функция имеет асимптоту при , дифференцируема и строго выпукла вниз на луче , то график функции лежит выше асимптоты (рис. 1.1).

б) Если функция имеет асимптоту при , дифференцируема и строго выпукла вверх на луче , то график функции лежит ниже асимптоты (рис. 1.2).

в) Могут быть другие случаи поведения графика функции при стремлении к асимптоте. Например, возможно, что, график функции бесконечное число раз пересекает асимптоту (рис. 1.3 и 1.4).

Аналогичное утверждение справедливо и при .

До исследования свойств выпуклости графика функции взаимное расположения графика функции и его асимптоты можно определить по знаку в методе выделения главной части.

Пример 5. Определить взаимное расположение графика функции и его асимптот.

► . Так как при , то график функции лежит выше асимптоты . Так как при , то график функции лежит ниже асимптоты . ◄

Пример 6. Определить взаимное расположение графика функции и его асимптоты при .

►Из равенства при следует, что график функции лежит ниже асимптоты . ◄

Пример 7. Определить взаимное расположение графика функции и его асимптот.

► Так как (см. пример 3), то график функции лежит выше асимптоты при и при . ◄

Пример 8. Определить взаимное расположение графика функции и его асимптот.

► Так как , то применяя формулу при , , получаем

. Эта разность положительна при и отрицательна при . Поэтому при график функции лежит ниже асимптоты , а при — выше асимптоты .◄

Метод вычисления пределов для исследования асимптот не позволяет оценить взаимное расположение графика функции и его асимптоты.

3. Построение эскиза графика функции

Для построения эскиза графика отмечаются вертикальные и наклонные асимптоты, точки пересечения графика функции с осями. Учитывая взаимное расположение графика функции и асимптот, строится эскиз графика. Если график функции лежит выше (ниже) асимптоты при , то, предполагая, что существует такая точка , что среди точек нет точек перегиба, получаем, что функция выпукла вниз(вверх), то есть к асимптоте. Аналогично можно прогнозировать направление выпуклости к асимптоте для вертикальных асимптот и для асимптоты при . Однако, как показывает приведенный выше пример функции , такие предположения могут быть не верны.

4. Участки возрастания и убывания функции. Точки минимума и максимума

Определение 3. Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , если для любых , таких что имеет место неравенство ( ).

Дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает) на интервале , тогда и только тогда, когда для любого ( ).

Определение 4. Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции , если:

1) функция определена в некоторой окрестности точки ;

2) существует окрестность , такая что для любого справедливо неравенство ( ).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции .

Необходимое условие экстремума. Если — точка экстремума функции , то в этой точке либо , либо производная не существует.

Достаточные условия экстремума.

1. Пусть существует , такое что функция дифференцируема в проколотой -окрестности точки и непрерывна в точке . Тогда,

а) если ее производная меняет знак минус на плюс при переходе через точку , т.е. для любого , для любого , то — точка максимума функции ;

б) если ее производная меняет знак плюс на минус при переходе через точку , т.е. для любого , для любого , то — точка минимума функции .

Модельными примерами могут служить (рис. 2.1) и (рис.2.2).

2. Если функция дважды дифференцируема в точке , и ( ), то точка является точкой максимума (минимума).

Для запоминания достаточного условия удобно использовать модельные примеры: (рис. 3.1) и (рис. 3.2) при имеют максимум и минимум соответственно:

3. Пусть существует , такое что функция дифференцируема в проколотой -окрестности точки , непрерывна в точке . Тогда,

а) если существуют конечные или бесконечные правая и левая производные в точке и , , то является точкой минимума (рис.4.1).

б) если , , то — точка максимума (рис. 4.2).

Замечание 2. Из теоремы Лагранжа о среднем следует, что, если существует окрестность точки , такая что функция определена и непрерывна в окрестности , дифференцируема в проколотой окрестности и существуют конечные или бесконечные пределы производных справа и слева и , то существуют и правая и левая производная и , и имеют место равенства и . Поэтому, при построении графиков функций для доказательства наличия экстремума в точке разрыва производной исследуемой функции как правило рассматривают пределы производных справа и слева. Предел производной справа (слева) равен тангенсу угла наклона касательной справа (слева) в точке экстремума.

Замечание 3. Точка разрыва первого и второго рода функции может быть точкой локального экстремума (рис. 5.1 и 5.2).

5. Выпуклость функции вверх и вниз. Точки перегиба

Определение 5. Непрерывная функция называется выпуклой вверх (строго выпуклой вверх) на отрезке , если для любых различных точек и отрезка выполняется неравенство .

Определение 6. Непрерывная функция называется выпуклой вниз (строго выпуклой вниз) на отрезке , если для любых различных точек и отрезка выполняется неравенство

Из определений следует, что непрерывная функция называется выпуклой вверх (строго выпуклой вверх) на отрезке , если каждая точка любой хорды к графику функции лежит не выше (ниже) графика (рис. 6.1). Непрерывная функция называется выпуклой вниз (строго выпуклой вниз) на отрезке , если каждая точка любой хорды к графику функции лежит не ниже (выше) графика (рис. 6.2).

Достаточные условия выпуклости вверх и вниз функции на отрезке: Пусть существует на отрезке , а — на интервале .

1. Если ( )при всех , то функция выпукла вверх (строго выпукла верх) на отрезке .

2. Если ( ) при всех , то функция выпукла вниз (строго выпукла вниз) на отрезке .

Определение 7. Точка называется точкой перегиба функции , если:

1. Функция непрерывна в точке ;

2. Функция имеет в точке конечную или бесконечную определенного знака производную;

3. Функция при переходе через точку меняет направление выпуклости, то есть существует , такое что на одном из интервалов , функция выпукла вверх, а на другом выпукла вниз.

Определение 8. Точка называется точкой перегиба графика функции , если — точка перегиба функции .

Необходимое условие перегиба в точке .

Если — точка перегиба функции и функция имеет в некоторой окрестности точки вторую производную, непрерывную в точке , то .

Достаточные условия перегиба в точке .

1. Если функция непрерывна в окрестности точки , имеет в точке конечную или бесконечную определенного знака производную, а функция определена в проколотой окрестности точки и меняет знак при переходе через эту точку, то — точка перегиба функции .

2. Если , а , то — точка перегиба функции .

В качестве модельных примеров рассмотрим функции (рис. 7.1) и (рис. 7.2). Дополнительно рассмотрим еще два примера перегиба (рис. 7.3 и 7.4).

Замечание 4. Если функция дважды дифференцируема в окрестности точки , и — точка перегиба функции , то график функции переходит с одной стороны касательной на другую. Обратное неверно.

Пример 9. Доказать, что, из того, что график функции в точке переходит с одной стороны касательной на другую не следует, что точка является точкой перегиба функции .

► Рассмотрим функцию . В точке график функции имеет горизонтальную касательную, и переходит с одной стороны касательно на другую, но точка не является точкой перегиба функции , так как не существует левой и правой окрестностей точки , в которых сохраняется направление выпуклости функции . ◄

Дифференцирование функции, аналитическое выражение которой содержит модуль

1) При исследовании с помощью производной поведения графика функции, аналитическое выражение которой содержит модуль, удобно производить дифференцирование по правилу сложной функции, учитывая, что во всех точках дифференцируемости функции .

2) При дифференцировании функции вида во всех точках дифференцируемости функции справедлива формула , так как производная функции сигнум равна нулю во всех точках дифференцируемости.

Пример 10. Найти первую и вторую производные функции .

► ,

при .◄

4. Основные требования к результатам исследования

и построению графика

1. Все результаты исследования функции следует обосновать в ходе решения. Все исследования функции, включая все необходимые вычисления: вычисления пределов функции, вычисления производных, решения уравнений, являются необходимой частью решения задачи на построение графика функции или кривой.

2. Все результаты должны быть получены точно. Необходимые приближенные вычисление привести в решении задачи.

3. Масштаб построения графика следует выбирать так, чтобы были отражены основные характерные моменты поведения графика функции.

4. На рисунке изобразить вертикаль[SVI1] ные и наклонные асимптоты, указать уравнения асимптот.

5. Обозначить точки минимума и максимума функции, указать их координаты.

6. Обозначить точки разрыва производной, указать их координаты. Изобразить односторонние касательные (если они существуют). В случае существования конечной односторонней производной указать тангенс угла наклона односторонней касательной.

7. Обозначить точки перегиба графика функции, указать их координаты. Указать точное значение производной или тангенс угла наклона касательной в точке перегиба. Изобразить касательную к графику функции в точке перегиба.

5. Примеры исследования функций и построения графиков функций.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

► Область определения функции .

Асимптоты.

Вертикальная асимптота .

Для нахождения наклонной асимптоты можно использовать различные методы. Во-первых, уравнение асимптоты можно получить методом выделения главной части, как частное от деления на , выполнив его, например, "уголком", или используя представление , или представляя по формуле Тейлора в окрестности точки . Асимптотой графика функции при и при является прямая .

Строим эскиз. Изображаем оси координат и асимптоты. Из равенства , следует, что при график функции стремится к асимптоте снизу, так как ; при график функции стремится к асимптоте сверху, так как . Можно предположить, что график функции при достаточно больших отрицательных значениях аргумента имеет направление выпуклости к асимптоте, то есть вверх.

При стремлении к асимптоте слева функция стремится к . Можно предположить, что график функции в достаточно малой левой окрестности точки является выпуклым вниз (к асимптоте).

При стремлении к асимптоте справа функция стремится к . Можно предположить, что график функции в достаточно малой правой окрестности точки также является выпуклым вниз (к асимптоте).

Так как на промежутке функция дифференцируема и меняет направление выпуклости, то на этом промежутке должна быть точка перегиба. Эскиз графика изображен на рис. 8.1.

Найдем первую и вторую производные функции

; .

Анализ результатов исследования. Результаты исследования удобно объединить в виде таблицы. Первая колонка таблицы содержит все промежутки и особую точку графика функции, а также точки, в которых равны нулю или не существуют первая или вторая производные.

					Выводы
					, асимптота
					точка локального минимума

					вертикальная асимптота

					точка перегиба с горизонтальной касательной
					, асимптота

Замечание . При заполнении таблицы следует иметь в виду, что:

1) в таблицу мы вносим существенные для построения графика выводы, заполнение всех клеточек не обязательно;

2) если в таблицу вносим числовое значение, то оно должно быть точным, далее можно указать приближенное значение;

3) на этапе заполнения таблицы и построения графика целесообразно проверить согласованность полученных результатов исследования.

График функции изображен на рис. 8.2.

Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.

► Область определения функции .

Асимптоты.

Так как знаменатель функции обращается в ноль при , то прямая — вертикальная асимптота.

Так как , то прямая является асимптотой графика функции при и при . При график функции лежит выше асимптоты, а при — ниже.

Построение эскиза. Изображаем асимптоты. При график функции стремится к асимптоте снизу, так как . Можно предположить, что график функции при достаточно больших отрицательных значениях аргумента является выпуклым вверх.

При стремлении к асимптоте слева функция стремится к . Можно предположить, что график функции в некоторой левой полуокрестности точки является выпуклым вверх (к асимптоте).

При стремлении к асимптоте справа функция стремится к . Можно предположить, что график функции в некоторой правой полуокрестности точки также является выпуклым вверх (к асимптоте).

При график функции стремится к асимптоте сверху, так как . Можно предположить, что график функции при достаточно больших значениях аргумента является выпуклым вверх. Так как на промежутке функция дифференцируема и меняет направление выпуклости, то на этом промежутке должна быть точка перегиба. Эскиз графика изображен на рис. 9.1.

Найдем первую и вторую производные функции

; .

Анализ результатов исследования. Заполняя таблицу, учитываем, что в правой и левой окрестностях точки , поведение графика функции различно.

					Выводы
					, асимптота
					точка локального минимума

					точка перегиба,

					точка локального максимума

					, вертикальная асимптота
					, вертикальная асимптота

					точка локального максимума
					, асимптота

Построение графика по результатам исследования

Замечание. Пункт приведен только для пояснения этапов анализа результатов исследования и построения графика функции.

На координатной плоскости изображаем вертикальную и наклонные асимптоты.

Так как при график функции возрастает и имеет выпуклость вверх, то график стремится к наклонной асимптоте снизу. Возрастание продолжается до точки локального максимума . Далее график функции убывает и стремится к вертикальной асимптоте .

Так как график функции является выпуклым вверх, то функция возрастает справа от вертикальной асимптоты до точки максимума , а затем убывает до точки перегиба . Тангенс угла наклона касательной в точке перегиба . На оставшемся промежутке график функции является выпуклым вниз.

Функция убывает до точки локального минимума , а затем функция возрастает, стремясь к асимптоте сверху. График функции изображен на рис. 9.2.

Пример 3. Исследовать функцию и построить ее график.

► Область определения функции

Функция является нечетной, исследование проводим на положительной полуоси, .

Асимптоты.

Знаменатель функции обращается в ноль при , поэтому прямая — вертикальная асимптота.

Так как , то прямая является асимптотой графика функции при и при .

Анализ взаимного расположения графика функции и его асимптот аналогичен примеру 2.

Строим эскиз (рис.10.1). В левой полуплоскости эскиз строим по симметрии для нечетной функции.

Найдем первую и вторую производные

; .

Анализ результатов исследования. Результаты исследования объединим в виде таблицы.

Заполняя таблицу, учитываем, что в правой и левой окрестностях точки , поведение графика функции различно.

					выводы
					, асимптота
					точка минимума

					вертикальная асимптота
					вертикальная асимптота

					точка перегиба с горизонтальной касательной

Используя свойство нечетности функции, получаем:

— точка максимума.

График функции изображен на рис. 10.2.

Пример 4. Исследовать функцию и построить ее график.

► Область определения функции . Значения функции неотрицательны, .

Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты для иррациональной функции находим методом выделения главной части, дополнительный член представления находим для определения взаимного расположения графика и асимптоты.

Так как

при , то прямая является асимптотой графика функции при , график лежит ниже асимптоты. Аналогично, из равенства

при , следует, что прямая является асимптотой графика функции при , график лежит ниже асимптоты, так как .

Функция неотрицательна и , а в других точках положительна, поэтому , и — точки локального минимума. Без дополнительного исследования с помощью производной или представления функции формулой Тейлора в окрестности этих точек мы не можем для иррациональной функции описать ее поведение в окрестности точек минимума. Поэтому на эскизе (рис. 11.1) мы опускаем малые окрестности этих точек.

Найдем первую и вторую производные

Анализ результатов исследования. Заполняя таблицу, учитываем, что в правой и левой окрестностях точек , и поведение графика функции различно.

					Выводы
					, асимптота выше графика
					точка локального минимума с вертикальными односторонними касательными


					точка локального максимума

					локальный минимум с вертикальными односторонними касательными

					, асимптота выше графика

График функции изображен на рис. 11.2.

◄

Пример 5. Исследовать функцию и построить ее график.

► Область определения функции .

Асимптоты.

Так как , а , то прямая — вертикальная асимптота.

Наклонные асимптоты для иррациональной функции находим методом выделения главной части.

Имеем

при . Отсюда следует что прямая является асимптотой графика функции при , причем график лежит ниже асимптоты. Аналогично из равенства

при следует, что прямая является асимптотой графика функции при , причем график функции лежит ниже асимптоты, так как .

В достаточно малой правой окрестности нуля функция стремиться к , можно предположить, что функция выпукла вниз. В достаточно малой левой окрестности нуля функция стремится к вертикальной асимптоте на , можно предположить, что функция выпукла вверх. При положительных аргументах функция положительна, если . Исследование поведения иррациональной функции в окрестности точки минимума проведем позднее с помощью производной. На эскизе этот участок не отражаем.

Строим эскиз (рис. 12.1).

Найдем производные функции

;

Анализ результатов исследования.

Заполняя таблицу, учитываем, что в правой и левой окрестностях точек , и поведение графика функции различно.

					Выводы
					, асимптота выше графика
					точка локального минимума, ,
					точка локального минимума, ,

					вертикальная асимптота
					вертикальная асимптота

					точка перегиба,

					точка перегиба с вертикальной касательной
					точка перегиба с вертикальной касательной
					, асимптота выше графика

График функции изображен на рис. 12.2.

Пример 6. Исследовать функцию и построить ее график.

► Область определения функции .

Асимптоты.

Так как , то прямая — вертикальная асимптота, при чем функция стремится к ней слева.

Наклонные асимптоты для иррациональной функции находим методом выделения главной части, для определения взаимного расположения графика и асимптоты представим функцию формулой Тейлора до при . Имеем

при . Поэтому прямая является асимптотой графика функции при , график лежит выше асимптоты. Аналогично прямая является асимптотой графика функции при , причем график лежит ниже асимптоты, так как .

Заметим, что .

Строим эскиз (рис. 13.1).

Дата добавления: 2019-11-16; просмотров: 297; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!