Погрешность интерполяционного полинома в форме Ньютона
Рассмотрим функцию f(x), которая непрерывна и дифференцируема на рассматриваемом отрезке [a, b]. Интерполяционный полином P(x) в форме Ньютона принимает в точках 
заданные значения функции 
. В остальных точках интерполяционный полином P(x) отличается от значения функции f(x) на величину остаточного члена, который определяет абсолютную погрешность интерполяционной формулы Ньютона:
Абсолютную погрешность интерполяционной формулы Ньютона определяют следующим образом:
Переменная 
представляет собой верхнюю границу значения модуля (n+1)-й производной функции f(x) на заданном интервале [a, b]
В случае равноотстоящих узлов 
абсолютная погрешность интерполяционной формулы Ньютона определяют следующим образом:
Выражение записано с учетом следующей формулы:
Выбор узлов интерполяции
С помощью корректного выбора узлов можно минимизировать значение 
в оценке погрешности, тем самым повысить точность интерполяции. Данная задача может быть решена с помощью многочлена Чебышева:
В качестве узлов следует взять корни этого многочлена, то есть точки:
Методика вычисления полинома в форме Ньютона (прямой способ)
Алгоритм вычисления полинома в форме Ньютона позволяет разделить задачи определения коэффициентов и вычисления значений полинома при различных значениях аргумента:
1. В качестве исходных данных задается выборка из n-точек, которая включает в себя значения функции и значения аргумента функции.
|
|
|
2. Выполняется вычисление разделенных разностей n-порядка, которые будет использоваться для построения полинома в форме Ньютона.
3. Выполняется вычисление полинома n-степени в форме Ньютона по следующей формуле:
Алгоритм вычисления полинома в форме Ньютона 
представлен на рисунке 1.
Рис.1. Методика вычисления полинома в форме Ньютона
Следует отметить, что разделённые разности k-го порядка в соответствии с представленной методикой перезаписывается в вектор столбец функции 
, а результирующая разделенная разность всегда находится в первой ячейке функций 
. Рассмотрим, каким образом будет изменяться вектор столбец функции при выполнении расчета по представленной методике.
В качестве примера рассмотрим следующую практическую задачу. В рамках задачи известен набор шести значений, которые получены методом случайной выборки для различных моментов времени. Следует отметить, что данная выборка значений описывает функция 
на интервале [0, 10]. Необходимо построить многочлен в форме Ньютона для представленного набора значений. С помощью интерполяционной формулывычислить приближенное значение функции в точке 
, а также определить оценку погрешности результата вычислений.
|
|
|
Многочлен в форме Ньютона, который строится на основании шести значений, представляет собой полином 5 степени. Результат построения полинома в форме Ньютона показан в графическом виде.
Рис.2. Исходная функция и полином в форме Ньютона, построенный по шести заданным точкам
С помощью найденного полинома можно определить значение функции в любой точке заданного интервала. Определение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений называется «интерполяцией». В соответствии с условиями задачи полином в форме Ньютона в точке x=9,5 принимает следующее значение: L(9,5)= – 4,121. Из графика видно, что полученное значение не совпадает cо значением функции f(x) на величину абсолютной погрешности интерполяционной формулы Ньютона.
Интерполяционный полином в форме Ньютона часто оказывается удобным для проведения различных теоретических исследований в области вычислительной математики. Так, например, полином в форме Ньютона используются для интерполяции, а также для численного интегрирования таблично-заданной функцией.
Дата добавления: 2020-01-07; просмотров: 242; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!