Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента
В общем виде интерполяционный многочленв форме Ньютона записывается в следующем виде:
где n – вещественное число, которое указывает степень полинома;
– переменная, которая представляет собой разделенную разность k-го порядка, которая вычисляется по следующей формуле:
Разделённая разность является симметричной функцией своих аргументов, то есть при любой их перестановке её значение не меняется. Следует отметить, что для разделённой разности k-го порядка справедлива следующая формула:
В качестве примера, рассмотрим построение полинома в форме Ньютона по представленной выборке данных, которая состоит из трех заданных точек 
. Интерполяционный многочленв форме Ньютона, который проходит через три заданных точки, будет записываться в следующем виде:
• Разделенная разность 1-го порядка определяется следующим выражением
Следует отметить, что данное выражение может быть переписано в другом виде:
• Разделенная разность 2-го порядка определяется следующим выражением
Следует отметить, что данное выражение может быть переписано в другом виде:
Форма Ньютона является удобной формой представления интерполяционного полинома n-степени, так как при добавлении дополнительного узла все вычисленные ранее слагаемые остаются без изменения, а к выражению добавляется только одно новое слагаемое. Следует отметить, чтоинтерполяционный полином в форме Ньютона только по форме отличается от интерполяционного полинома в форме Лагранжа, представляя собой на заданной сетке один и тот же интерполяционный полином.
|
|
|
Следует отметить, что полином в форме Ньютона может быть представлен в более компактном виде (по схеме Горнера), которая получается путем последовательного вынесения за скобки множителей 
Интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих значений аргумента
В случае если значения функции заданы для равноотстоящих значений аргумента, которые имеют постоянный шаг измерений 
, то используют другую форму записи интерполяционного многочлена по формуле Ньютона.
• Для интерполирования функции в конце рассматриваемого интервала (интерполирование назад и экстраполирование вперед) используют интерполяционный полином в форме Ньютона в следующей записи:
где конечные разности k-порядка определяются по следующему выражению
Получаемые конечные разности удобно представлять в табличной форме записи, в виде горизонтальной таблице конечных разностей. В этой формуле из таблицы конечных разностей используются 
верхней диагонали.
• Для интерполирования функции в начале рассматриваемого интервала (интерполирование вперед и экстраполирование назад) используют интерполяционный полином в форме Ньютона в следующей записи:
|
|
|
где конечные разности k-порядка определяются по следующему выражению
Получаемые конечные разности удобно представлять в табличной форме записи, в виде горизонтальной таблице конечных разностей. В формуле из таблицы конечных разностей используются 
нижней диагонали.
Дата добавления: 2020-01-07; просмотров: 236; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!