Метод перевода с использованием промежуточного основания

Метод может быть использован для систем счисления с основаниями ,  (то есть 2, 8, 16 и т. д.)

В качестве промежуточной системы счисления принято использовать двоичную. Алгоритм преобразования включает в себя следующие шаги:

1. Каждая цифра числа, записанного в исходной системе счисления с основанием , записывается в двоичной системе счисления. В результате преобразования каждая цифра будет состоять из  двоичных разрядов. Все разряды записываются в порядке следования цифр в исходном числе.

2. В двоичном представлении числа выделяются группы, состоящие из  разрядов. Группировка производится от запятой влево для целой части числа и вправо для дробной. Выделенные части переводятся из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием .

Записанные подряд преобразованные числа и будут являться результатом перевода.

 

Пример 6.9: Задано вещественное число в системе счисления с основанием : . Требуется перевести число в систему счисления с основанием , то есть

Представим каждую цифру исходного числа в двоичной системе счисления. Число разрядов, которые будет занимать каждая цифра – 3 ( ).

 

 

В новой системе счисления с основанием 16, каждая цифра в двоичном представлении будет занимать 4 разряда ( ). Разделим получившийся бинарный код на группы, по 4 разряда, начиная деление от запятой.

 

 

Последовательно записав представления групп бинарных кодов в 16-й системе счисления получим

 

 

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Во всех позиционных системах счисления арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам, хорошо знакомым всем по работе в десятичной системе счисления.

Для сложения, вычитания и умножения удобно использовать алгоритм вычисления «в столбик», а для деления – «уголком». При этом для каждой системы счисления используются собственные таблицы сложения и умножения.

Если арифметическое действие необходимо выполнить над числами, представленными в разных системах счисления, их необходимо предварительно перевести в одну и ту же систему счисления.

 

Сложение и вычитание в позиционных системах счисления

Таблицы сложения для двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления представлены в таблицах 6.1 – 6.3.

 

Таблица 6.1

Таблица сложения в

Двоичной системе счисления

+	0	1
0	0	1
1	1	10

 

 

Таблица 6.2

Таблица сложения в восьмеричной системе счисления

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

 

 

Таблица 6.3

Таблица сложения в шестнадцатеричной системе счисления

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

 

Для сложения (вычитания) многоразрядных чисел в любой позиционной системе счисления используются следующие правила:

1. Если сумма цифр складываемых чисел больше или равна основанию системы счисления, то единица переносится в старший разряд (стоящий слева от текущего).

2. Если при вычитании цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из старшего разряда занимается единица, которая при этом становится равной основанию системы счисления.

Ниже приведены примеры сложения и вычитания многоразрядных чисел в различных системах счисления.

 

Двоичная система счисления:

Пример 1.

10101₂ + 1101₂ = ?

Сложение производится последовательно, начиная с младших разрядов.

 - согласно таблице сложения, следовательно в младший разряд суммы записывается 0, а 1 переносится в старший (второй) разряд (отмечено красным).

 - переполнения разряда нет, во второй разряд суммы записывается 1.

 - согласно таблице сложения, следовательно в третий разряд суммы записывается 0, а 1 переносится в старший (четвертый) разряд (отмечено красным).

 - согласно таблице сложения, следовательно в четвертый разряд суммы записывается 0, а 1 переносится в старший (пятый) разряд (отмечено красным).

 - согласно таблице сложения, следовательно в пятый разряд суммы записывается 0, а 1 переносится в старший (шестой) разряд суммы.

 

Пример 2.

1010100₂ - 1000010₂ = ?

Вычитание производится последовательно, начиная с младших разрядов.

 - согласно таблице сложения, следовательно в младший разряд разности записывается 0.

 - так как , требуется заем из старшего разряда (отмечено точкой), который превращается в основание системы счисления . Согласно таблице сложения, во второй разряд разности записывается 1.

 – с учетом заема на предыдущем шаге и согласно таблице сложения в третий разряд разности записывается 0.

 – согласно таблице сложения в четвертый разряд разности записывается 0.

 – согласно таблице сложения в пятый разряд разности записывается 1.

 – согласно таблице сложения в шестой разряд разности записывается 0.

 – согласно таблице сложения в седьмой разряд разности записывается 0.

Так как два старших разряда имеют нулевое значение, их запись не производится.

 

Восьмеричная система счисления :

Пример 3.

2154₈ + 736₈ = ?

Сложение производится последовательно, начиная с младших разрядов.

 - согласно таблице сложения, следовательно в младший разряд суммы записывается 2, а 1 переносится в старший (второй) разряд (отмечено красным).

 - согласно таблице сложения, следовательно во второй разряд суммы записывается 1, и 1 переносится в старший (третий) разряд (отмечено красным).

 - согласно таблице сложения, следовательно в третий разряд суммы записывается 1, и 1 переносится в старший (четвертый) разряд (отмечено красным).

 – переполнения разряда нет, в четвертый разряд суммы записывается 3.

 

 

Пример 4.

43506₈ - 5042₈ = ?

Вычитание производится последовательно, начиная с младших разрядов.

 - согласно таблице сложения, следовательно в младший разряд разности записывается 4.

 - так как , требуется заем из старшего разряда (отмечено точкой), который превращается в основание системы счисления . Согласно таблице сложения, во второй разряд разности записывается 4.

 - согласно таблице сложения, следовательно в третий разряд разности записывается 4.

 - так как , требуется заем из старшего разряда (отмечено точкой), который превращается в основание системы счисления . Согласно таблице сложения, в четвертый разряд разности записывается 6.

 – с учетом займа на предыдущем шаге и согласно таблице сложения, в пятый разряд разности записывается 3.

Шестнадцатеричная система счисления:

Пример 5.

8D8₁₆ + 3ВС₁₆ = ?

Сложение производится последовательно, начиная с младших разрядов.

 - согласно таблице сложения, следовательно в младший разряд суммы записывается 4, а 1 переносится в старший (второй) разряд (отмечено красным).

 - согласно таблице сложения, следовательно во второй разряд суммы записывается 9, а 1 переносится в старший (третий) разряд (отмечено красным).

 - согласно таблице сложения, следовательно в третий разряд суммы записывается , переполнения разряда нет.

 

Пример 6.

C94₁₆ - 3BC₁₆ = ?

 - так как , требуется заем из старшего разряда (отмечено точкой), который превращается в основание системы счисления . Согласно таблице сложения, в младший разряд разности записывается 8.

 - вычитание  позволяет учитывать заем на предыдущем шаге. Так как , требуется заем из старшего разряда (отмечено точкой), который превращается в основание системы счисления . Согласно таблице сложения, во второй разряд разности записывается D.

 - вычитание  позволяет учитывать заем на предыдущем шаге. Согласно таблице сложения, в третий разряд разности записывается 8.

 

+решение без таблиц

 

---

Дата добавления: 2020-01-07; просмотров: 385; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!