Частные производные функций 2 переменных и их геометрический смысл.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Пусть функция определена в окрестности точки M(x,y) и в самой точке М. Дадим переменной x приращение Dx (x®x+Dx), а переменную y оставим без изменения (y®y)так, чтобы точка M₁(x+Dx; y)Îуказанной окрестности, тогда функция получит приращение D_xz по переменной x: .

Определение: Если существует предел при Dx®0 отношения приращения функции к приращению аргумента, то он называется частной производной функции z по переменной x и обозначается : .

Определение: Если существует предел при отношения приращения функции к приращению аргумента, то он называется частной производной функции z по переменной y и обозначается : .

При вычислении частных производных все переменные, кроме одной (по которой берется производная) считаются константами. Берем функцию двух переменных, частное по x, y – константа.

, y-const., x-const или y,z,t-const., x,y,t-const..

Пример:

Вычислить частные производные функции двух переменных.

;

Решение:

( y - const );

( x - const ).

Дифференцирование сложной функции.

Пусть функция z = f ( x , y ) – функция двух переменных, x и y, каждая из которых является функцией независимой переменной t, В этом случае функция z = f ( x ( t ), y ( t )) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные x и y – промежуточные переменные.

Теорема:

Если z = f ( x , y ) – дифференцируемая в точке функция и и — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z=f(x(t),y(t)) вычисляется по формуле:

Доказательство:

Дадим независимой переменной t приращение . Тогда функции и получат приращения и соответственно. В результате получим приращение функции . Поскольку функция дифференцируема в точке , то ее полное приращение можно записать в виде: , где , при , . Разделим выражение на и перейдем к пределу при . Тогда и , в силу непрерывности функций и (по условию теоремы они – дифференцируемы, а следовательно - непрерывны).

то есть , или .

Частный случай: z = f ( x , y ), где y = y ( x ), то есть z = f ( x , y ( x )) – сложная функция одной независимой переменной x. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль независимой переменной t выполняет x: - формула полной производной.

Общий случай: z = f ( x , y ), где x = x ( u , v ), y = y ( u , v ) то есть z = f ( x ( u , v ), y ( u , v )) – сложная функция независимых переменных u и v, частные производные которой находятся по формулам:

Таким образом, производная сложной функции z по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции по ее промежуточным переменным на их производные по соответствующей независимой переменной.

Пример:

Найти и , если и , .