Предел и непрерывность функции 2 переменных.
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
КУРС ЛЕКЦИЙ
По дисциплине «Математический анализ» 2 семестр
Для студентов очной формы обучения
Раздел № 2 «Функции нескольких переменных»
Волгодонск
Функции нескольких переменных.
Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких независимых переменных.
Определение: Пусть задано множество упорядоченных наборов чисел 
, принадлежащее некоторой n-мерной области D. Правило (закон), который ставит в соответствие каждому набору чисел 
единственное значение 
называется функцией нескольких переменных 
, действующей из D в R (D®R). При этом 
называются независимыми переменными, а z – зависимой переменной.
Будем рассматривать функции 2 переменных, поскольку важнейшие факты теории функции многих переменных наблюдаются уже на них. Кроме того, для функций 2 переменных можно представить наглядную геометрическую интерпретацию.
Функции 2 переменных, способы задания, область определения.
|
|
|
Определение: Пусть задано множество упорядоченных пар чисел (x;y), принадлежащее плоской области D. Правило (закон), который ставит в соответствие каждой паре чисел 
единственное значение называется функцией двух переменных 
, действующей из D в R (D®R). При этом x и y называются независимыми переменными, а z – зависимой переменной.
Множество 
называется областью определения функции; множество значений, принимаемых z в области определения называется областью значений функции, обозначается E или 
.
В математике чаще всего используется аналитический способ задания функций (с помощью формул), а в прикладных задачах часто приходится сталкиваться с графическим заданием функции (с помощью графика).
Например: 
, 
, 
.
Естественной областью определения функции двух переменных является множество пар (x,y), при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.
Пример:
Найти естественную область определения функции.
.
Решение:
Функция не определена когда знаменатель дроби обращается в ноль.
. Существует единственное решение данного уравнения. 
. Следовательно, областью определения функции являются все пары точек, за исключением точки (0,0).
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения:
.
.
Определение: Графиком функции 
называется множество точек пространства с координатами (x,y,f(x,y)),таких, что (x,y)ÎD(z)-область определения функции. Для функции двух переменных графиком является некоторая поверхность.
Предел и непрерывность функции 2 переменных.
Для функции 2 (и большего числа переменных) вводится понятие предела и непрерывности, как и для функций одной переменной. Обозначим через r расстояние между точками M(x,y) и M(x0,y0),тогда 
. Рассмотрим неравенство r<d или 
. Это неравенство задает внутреннюю область круга с центром в точке M0 и радиусом d, которую называют 
-окрестностью точки.
Определение: Число А называется пределом функции 
при x®x0, y®y0 в точке 
, если для любого, сколь угодно малого положительного e, найдется d, зависящее от e, положительное, такое, что из неравенства 
, будет следовать неравенство 
, при условии что 
. 
из неравенства 
и 
Þ 
. 
= 
Замечание: Все теоремы о пределах для функций с одной переменной справедливы и для функций многих переменных.
Определение: Функция 
называется непрерывной в точке ,если 
,то есть если предел в точке совпадает со значением функции в этой точке.
|
|
|
Определение: Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она непрерывна на всей этой области.
Пример:
Найти предел: 
Решение:
Будем приближаться к точке O(0,0) по прямой y=kx (поскольку из определения предела он не должен зависеть от пути приближения к точке).
.
В точке O(0,0) предела не существует, так как при разных значениях k функция имеет различные предельные значения.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 197; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!